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et les racines de celle-ci sont

${\frac {\alpha '}{2}}\pm {\sqrt {-\rho '}}\,;$

donc comparant les parties réelles avec les réelles, et les imaginaires avec les imaginaires, il faudrait que l’on eût

${\frac {a'}{2}}={\frac {\alpha '}{2}}\quad {\text{et}}\quad \pm {\sqrt {-r'}}=\pm {\sqrt {-\rho '}},$

donc

$a'=\alpha '\quad {\text{et}}\quad r'=\rho '\,;$

de sorte que le facteur $x^{2}-\alpha 'x+{\frac {\alpha '^{2}}{4}}+\rho '$ serait le même que le facteur $x^{2}-a'x+{\frac {a'^{2}}{4}}+r'\,;$ ce qui est contre l’hypothèse. D’où il est facile de conclure qu’une équation quelconque proposée aura nécessairement autant de couples de racines imaginaires qu’il y aura de valeurs négatives de $u$ auxquelles répondront des valeurs réelles de $a.$

13. Ainsi, dès qu’on aura trouvé la transforméeen $u,$ on pourra d’abord juger par les signes mêmes de cette équation si la proposée a toutes ses racines réelles ou non ; ensuite, pour connaître le nombre des racines imaginaires de la proposée dans le cas où elle en doit contenir, il suffira de connaître le nombre des racines négatives de la même transformée ; mais malheureusement on n’a point de méthode, que je sache, pour reconnaître à priori le nombre des racines positives ou négatives d’une équation quelconque, à moins qu’on ne soit assuré d’avance que toutes ses racines sont réelles.

Cependant, si l’on fait attention que le dernier terme de toute équation pris avec son propre signe si le degré de l’équation est pair, ou avec un signe contraire si le degré est impair, est toujours nécessairement positif ou négatif suivant que le nombre des racines négatives est pair ou impair, on pourra reconnaître sur-le-champ par le signe du dernier terme de la transformée en $u$ si le nombre des racines imaginaires de la pro-