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posée est multiple de $4,$ ou multiple de $4$ plus $2\,;$ le premier cas aura lieu lorsque le dernier terme de la transformée sera positif ou négatif suivant que le degré sera pair ou impair, et le second cas aura lieu lorsque le dernier terme sera positif ou négatif suivant que le degré de la transformée sera au contraire impair ou pair.

14. Si la transformée dont il s’agit avait des racines nulles, alors il est clair que chaque racine nulle indiquerait une égalité entre deux racines de la proposée ; car, faisant $u=0,$ on aurait le facteur $x^{2}-ax+{\frac {a^{2}}{4}},$ lequel étant supposé $=0$ donne les deux racines égales $x={\frac {a}{2}},\ x={\frac {a}{2}}.$

Ainsi une racine nulle dans la transformée $u$ indiquera deux racines égales dans la proposée ; deux racines nulles dans la transformée indiqueront deux couples de racines égales dans la proposée ; trois racines nulles dans la même transformée indiqueront trois couples de racines égales deux à deux dans la proposée, ou bien trois racines égales entre elles ; et ainsi de suite.

15. La méthode que nous avons proposée ci-dessus pour trouver la transformée dont il s’agit peut se simplifier beaucoup de cette manière puisque $x^{2}-ax+{\frac {a^{2}}{4}}-u$ doit être un diviseur de la proposée, il est clair que $x-{\frac {a}{2}}+{\sqrt {u}}$ et $x-{\frac {a}{2}}-{\sqrt {u}}$ devront être l’un et l’autre en même temps diviseurs de la même équation ; donc il n’y aura qu’à substituer dans cette équation ${\frac {a}{2}}\pm {\sqrt {u}}$ à la place de $x,$ et faire en sorte que l’équation résultante ait lieu également, soit que le radical ${\sqrt {u}}$ soit pris en $+$ ou en $-\,;$ c’est ce qu’on obtiendra en faisant deux équations séparées, l’une de la partie toute rationnelle, et l’autre de la partie irrationnelle et affectée de ${\sqrt {u}}\,;$ par ce moyen on aura d’abord les deux équations cherchées en $a$ et $u,$ d’où, par l’élimination de $a,$ on tirera la transformée en $u.$

Nous allons en donner quelques exemples, mais pour éviter les frac-