Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/367

formée en $u$ n’est autre chose que l’équation dont les racines sont les carrés de toutes les demi-différences entre les différentes racines de la proposée. En considérant cette transformée sous ce point de vue, on trouvera aisément, par les principes que nous avons établis ailleurs, que cette équation montera généralement au degré ${\frac {m(m-1)}{2}}$ en prenant $m$ pour le degré de la proposée ; et l’on pourra même calculer directement tous ses termes, sans employer aucune substitution ou élimination.

De plus, on voit clairement la raison pourquoi la proposée ne peut avoir de racines imaginaires qu’autant que la transformée aura de racines réelles négatives. Car, puisqu’il est démontré que chaque couple de racines imaginaires est nécessairement de la forme

$p+q{\sqrt {-1}},\quad p-q{\sqrt {-1}},$

$p$ et $q$ étant des quantités réelles, il s’ensuit que le carré de la demi-différence de ces racines sera $-q^{2}$ et par conséquent nécessairement négatif d’où l’on doit conclure que chaque racine réelle négative de l’équation en $u$ indique nécessairement un couple de racines imaginaires dans la proposée, etc. Sur quoi on peut aussi voir les Mémoires des années 1767 et 1768^[1].

21. D’après les mêmes principes on pourra aussi trouver des transformées telles, que l’équation proposée ne puisse avoir à la fois quatre racines imaginaires, ou six racines imaginaires, ou, etc., à moins que sa transformée n’ait des racines négatives ; ce qui pourrait fournir des critères pour reconnaître si une équation donnée qu’on sait déjà avoir nécessairement des racines imaginaires, mais dont on ignore le nombre, doit au moins en avoir quatre, ou six, ou, etc.

Pour cela je considère que, si l’équation proposée contient quatre racines imaginaires, elles seront de la forme

$p+q{\sqrt {-1}},\quad p-q{\sqrt {-1}},\quad r+s{\sqrt {-1}},\quad r-s{\sqrt {-1}},$

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 539 et 581.