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$p,q,r,s$ étant des quantités réelles ; donc la quantité $-(q+s)^{2}$ sera essentiellementréelle et négative tant que ces quatre racines seront à la fois imaginaires. Or nommant ces racines $a,b,c,d,$ on aura

$q{\sqrt {-1}}={\frac {a-b}{2}},\quad s{\sqrt {-1}}={\frac {c-d}{2}}\,;$

donc

$-(q+s)^{2}=\left({\frac {a+c-b-d}{2}}\right)^{2}.$

Si donc on cherche une transformée dont les racines soient les carrés des demi-différences entre la somme de deux racines quelconques et la somme de deux autres racines de la même équation, cette transformée aura la propriété qu’elle n’aura de racines réelles négatives qu’autant que la proposée aura au moins quatre racines imaginaires,.

22. Je remarque maintenant que, comme les quantités $q$ et $s$ peuvent être prises indifféremment avec les signes $+$ ou $-,$ il s’ensuit que $-(q+s)^{2}$ et $-(q-s)^{2}$ seront également deux racines négatives de la transformée dont il s’agit, provenant des quatre racines imaginaires $p\pm q{\sqrt {-1}},\ r\pm s{\sqrt {-1}},$ de la proposée ; et il est facile de se convaincre que ces racines imaginaires ne pourront donner dans la transformée d’autres racines réelles négatives que les deux précédentes.

Ainsi chaque combinaison de deux couples de racines imaginairesdans la proposée donnera toujours dans la transformée deux racines réelles négatives ni plus ni, moins. Par conséquent, si la proposée contient $2n$ racines imaginaires, il en résultera nécessairement dans la transformée un nombre de racines réelles négatives égales à deux fois le nombre des combinaisons de $n$ choses prises deux à deux ; or ce dernier nombre est, comme l’on saint, ${\frac {n(n-1)}{2}}\,;$ donc le nombre des racines réelles négatives sera $n(n-1).$ D’autre part il est manifeste que les racines réelles de la proposée, si elle en a, soit seules soit combinées avec les imaginaires, ne peuvent jamais donner dans la transformée en question que des racines réelles positives, ou des racines imaginaires. Donc on peut