duise les deux nombres au même dénominateur, il s’ensuit que la différence des bi-carrés des numérateurs sera elle-même un carré.
Le principe de la démonstration de Fermat est un des plus féconds dans toute la Théorie des nombres, et surtout dans celle des nombres entiers. M. Euler a développé davantage ce principe, et l’a appliqué à démontrer quelques autres Théorèmes analogues, savoir : que la somme de deux bi-carrés ne peut être un carré ; que ni la somme ni la différence d’un bicarré et du quadruple d’un autre bi-carré ne peuvent être des carrés ; que le double de la somme ou de la différence de deux bi-carrés ne saurait jamais être un carré ; qu’enfin la somme d’un bi-carré et dit double d’un autre bi-carré ne peut aussi être un carré. (Voyez le Chapitre XIII de la seconde Partie de ses Éléments d’Algèbre.)
2. Mais si la somme d’un bi-carré et du double d’un autre bi-carré ne saurait être un carré, il n’en est pas de même de leur différence ; car il est visible qu’on satisfait à l’égalité
en prenant et quant à l’égalité
il n’y a qu’à prendre
On a trouvé aussi pour la première égalité ces autres valeurs
et pour la seconde celles-ci
on pourrait en trouver encore plusieurs autres par la méthode connue pour ces sortes d’égalités, suivant laquelle on peut déduire de nouvelles solutions de celles qu’on a déjà, chaque solution en fournissant toujours une autre différente, si le Problème en admet plusieurs (voyez le Traité intitulé Doctrinæ analyticæ inventum novum dans l’édition de Diophante
