de 1670, et les Chapitres VIII, IX et X de la seconde Partie de l’Algèbre de M. Euler) ; mais cette méthode, la seule que l’on ait jusqu’à présent pour les égalités qui passent le second degré, n’est que particulière et ne saurait jamais donner toutes les solutions possibles ; on a même remarqué que souvent elle ne donne pas les solutions les plus simples et qui se présentent d’ailleurs d’elles-mêmes. Ainsi, s’il était question de résoudre d’une manière complète les deux égalités ci-dessus, ou du moins de trouver toutes les valeurs possibles de et qui ne surpasseraient pas des limites données, la méthode dont il s’agit ne serait presque d’aucune utilité, puisqu’on serait toujours incertain si les valeurs trouvées par cette méthode sont les seules qui satisfassent à la question, et l’on ne pourrait se tirer de ce doute qu’en essayant successivement tous les nombres entiers pour et
3. L’égalité
est surtout remarquable, parce qu’elle renferme la solution d’un Problème proposé par Fermat comme très-difficile, dans la deuxième Observation sur la Question XXIV du Livre VI de Diophante. Ce Problème consiste à trouver un triangle rectangle en nombres dont l’hypoténuse soit un carré et dont la somme des deux côtés autour de l’angle droit en soit un aussi, c’est-à-dire à trouver deux nombres dont la somme soit un carré et dont la somme des carrés soit un bi-carré.
Soient et les deux nombres cherchés, en sorte que
ôtant du double de cette dernière équation le carré de la première, on aura
donc faisant
on aura l’équation
