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donc il faut que $\mu$ divise $t^{2}\,;$ mais en, chassant $u$ des deux équations précédentes, on a

$s^{2}=\mu (\varpi -\rho ),$

d’où l’on voit que $\mu$ divise déjà $s^{2}\,;$ donc puisque $t$ et $s$ sont premiers entre eux (hypothèse), il faut que $\mu =1.$ Ainsi l’on aura

$2t^{4}=\varpi \rho \,;$

et comme $\varpi$ et $\rho$ sont premiers entre eux, il faudra que l’on ait nécessairement, ou

$\varpi =2q^{4},\quad \rho =r^{4},$

ou

$\varpi =q^{4},\quad \rho =2r^{4}\,;$

d’où résulte

$t=qr.$

Dans le premier cas on aura donc

$u=2q^{4}+r^{4},\quad s^{2}=2q^{4}-r^{4},$

et dans le second on aura

$u=q^{4}+2r^{4},\quad s^{2}=q^{4}-2r.$

D’où l’on voit que la résolution de l’équation

$s^{4}+8t^{4}=u^{2}$

est réduite à la résolution de l’une ou de l’autre des équations

$2q^{4}-r^{4}=s^{2}\quad {\text{ou}}\quad q^{4}-2r^{4}=s^{2}.$

En effet, si l’on connaît des valeurs entières de $q,r,s$ qui satisfassent à l’une ou l’autre de ces équations, il n’y aura qu’à prendre $t=qr,$ et l’on aura des valeurs de $s$ et $t$ qui résoudront l’équation

$s^{4}+8t^{4}=\square .$

Or je remarque :

1^o Que si $s$ et $t$ sont premiers entre eux, $s$ sera aussi premier à $q$