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et à $r\,;$ donc $q$ et $r$ seront premiers entre eux en vertu des équations

$2q^{4}-r^{4}=s^{2}\quad {\text{ou}}\quad q^{4}-2r^{4}=s^{2}\,;$

2^o Que si $q$ et $r$ sont différents de l’unité, $t$ sera plus grand que $q$ et que $r\,;$ si $q$ égal à l’unité, alors $t=r\,;$ mais dans ce cas on aura

$2-r^{4}=s^{2}\quad {\text{ou}}\quad 1-2r^{4}=s^{2}\,;$

la seconde de ces équations ne saurait avoir lieu en nombres entiers, et la première ne peut subsister qu’en faisant

$r=1\quad {\text{et}}\quad s=1\,;$

ainsi l’on aurait alors

$s=1,\quad t=1.$

Si $r$ égal à l’unité, alors

$t=q,\quad {\text{et}}\quad s^{2}=2q^{4}-1{\text{ ou }}=q^{4}-2\,;$

d’où l’on voit que $s$ sera plus grand que $q.$ Je conclus de là que tant que $s$ et $t,$ dans l’égalité

$s^{4}+8t^{4}=\square ,$

seront premiers entre eux et différents de l’unité, $q$ et $r$ seront aussi premiers entre eux et différents de l’unité, et que de plus le plus grand des nombres $s$ et $t$ surpassera nécessairement le plus grand des deux $q,r.$

7. L’équation

$2q^{4}-r^{4}=s^{2}$

est, comme l’on voit, semblable à la première

$2x^{4}-y^{4}=z^{2}\,;$

ainsi le Problème serait résolu, si l’on n’avait trouvé que cette équation ; mais, comme on est aussi arrivé à l’équation

$q^{4}-2r^{4}=s^{2},$

qui est différente des deux que nous venons de traiter, il faut encore poursuivre le calcul relativement à cette dernière.