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où l’on voit que les deux valeurs de $s$ et de $q^{2}$ reviennent à la même en changeant $n$ en $p$ et $s$ en $-s.$ Donc la résolution de l’équation

$q^{4}-2r^{4}=s^{2}$

se réduit à celle de l’équation

$q^{2}=n^{4}+8p^{2},$

en prenant

$r=2pn\quad {\text{et}}\quad s=n^{4}-8p^{4}.$

Et l’on remarquera que $n$ et $p$ doivent être premiers entre eux, autrement $r$ et $q$ ne le seraient pas, contre l’hypothèse. De plus il est visible que $r$ sera toujours plus grand que $p$ et que $n,$ et comme $q$ est nécessairement plus grand que $r,$ il s’ensuit que, dans l’égalité

$n^{4}+8p^{4}=\square ,$

les nombres $n,p$ seront nécessairement moindres que les nombres $q,r$ dans l’égalité

$q^{4}-2r^{4}=\square .$

Or l’égalité

$n^{4}+8p^{4}=\square$

est de la même forme que celle que nous avons déjà traitée ci-dessus ; donc le Problème est résolu.

8. On peut donc, par la méthode et les formules précédentes, résoudre non-seulement les égalités de la forme

$2x^{4}-y^{4}=\square ,$

mais aussi celles de ces deux autres formes

$x^{4}+8y^{4}=\square \quad {\text{et}}\quad x^{4}-2y^{4}=\square ,$

et cela avec toute la généralité dont ces égalités sont susceptibles ; car en commençant par les solutions les plus simples et passant successivement aux plus composées, on sera assuré de trouver par ordre toutes les solutions possibles de ces égalités en nombres entiers, et par conséquent