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aussi en nombres rompus, suivant la remarque faite au commencement de ce Mémoire. Voici donc à quoi se réduit ce calcul :

1^o Ayant l’équation

(A)

$s^{4}+8t^{4}=u^{2},$

on aura l’équation

(B)

$x^{4}-2y^{4}=z^{2},$

en prenant

$x=u,\quad y=2st,$

et l’équation

(C)

$2x^{4}-y^{4}=z^{2},$

en prenant

$m={\frac {\pm u-3st}{l}},\quad n={\frac {s^{2}-8t^{2}}{l}},\quad \pm x=ms+nt,\quad \pm y=ms-nt,$

$l$ étant le plus grand commun diviseur.

2^o Ayant l’une ou l’autre des équations (B), (C), on aura l’équation (A) en prenant

$s=z,\quad t=xy.$

9. L’équation (A) donne évidemment d’abord

$s=1,\quad t=1,\quad u=3\,;$

donc on aura pour l’équation (B)

$x=3,\quad y=2,\quad \mathrm {et\ de\ l{\grave {a}}} \quad z=7\,;$

et pour l’équation (C)

$m={\frac {\pm 3-3}{l}},\quad n=-{\frac {7}{l}},\quad \pm x=m+n,\quad \pm y=m-n\,;$

donc

$m=0,\quad n=-1,\quad l=7\quad {\text{et}}\quad x=1,\quad y=1,\quad z=1,$

ou bien

$m=-6,\quad n=-7,\quad l=1\quad {\text{et}}\quad x=13,\quad y=1,\quad z=239.$