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donc

$m=p^{2}+aq^{2},\quad n=2pq\,;$

et, substituant dans l’équation $y^{2}=2mn,$ on aura

$y^{2}=4pq\left(p^{2}+aq^{2}\right).$

Qu’on fasse donc, pour satisfaire à cette équation,

$p=s^{2},\quad q=t^{2},\quad p^{2}+aq^{2}=u^{2},$

on aura

$y=2stu,$

et il viendra l’équation

$s^{4}+at^{4}=u^{2},$

qui est semblable à la proposée. Cette dernière équation étant résolue si elle peut l’être, on aura dans la proposée

$x=s^{4}-at^{4},\quad y=2stu,\quad z=\left(s^{4}+at^{4}\right)^{2}+a\left(2s^{2}t^{2}\right)^{2},$

savoir

$z=u^{4}+4as^{4}t^{4}\,;$

d’où l’on voit que $y$ sera toujours nécessairement plus grand que chacun des nombres $s,t,u.$

Connaissant donc une solution en entiers de toute équation de la forme

$x^{4}+ay^{4}=z^{2},$

on pourra par ces formules en déduire une nouvelle solution en nombres plus grands, et ainsi de suite ; mais on n’est pas assuré de trouver par ce moyen toutes les solutions possibles en nombres entiers ; car les suppositions que nous avons faites pour ramener l’équation

$x^{4}+ay^{4}=z^{2}$

à l’équation

$s^{4}+at^{4}=u^{2}$

sont simplement possibles, mais ne sont pas absolument nécessaires.

Au reste la méthode la plus simple et la plus générale pour résoudre ces sortes d’égalités est peut-être celle des facteurs, que j’ai exposée dans