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3. La fonction $\Omega$ (1) est telle que, si l’on $y$ augmente à la fois les quantités $x,x',x'',\ldots$ d’une même quantité quelconque $\alpha ,$ cette quantité disparaît d’elle-même et la fonction $\Omega$ demeure la même qu’auparavant il en est de même si l’on augmente à la fois les quantités $y,y',y'',\ldots$ d’une quantité quelconque $\beta ,$ et les quantités $z,z',z''\ldots$ d’une quantité aussi quelconque $\gamma .$ Donc, si l’on suppose que les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ soient infiniment petites, et que, dans la différentielle de $\Omega ,$ on fasse

$dx=dx'=dx''=\ldots =\alpha ,\quad dy=dy'=dy''=\ldots =\beta ,$

$dz=dz'=dz''=\ldots =\gamma ,$

il faudra que cette différentielle soit nulle indépendamment des valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ et que par conséquent les coefficients de ces trois quantités soient nuls chacun en particulier ; d’où il est aisé de conclure que la somme des coefficients de $dx,dx',dx'',\ldots$ dans la différentielle de $\Omega$ doit être nulle, ainsi que la somme des coefficients de $dy,dy',dy'',\ldots$ et celle des coefficients de $dz,dz',dz'',\ldots$ dans la même différentielle ; ce qui donne ces trois équations

${\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{dx}}+{\frac {d\Omega }{dx'}}+{\frac {d\Omega }{dx''}}+\ldots =&0,\\{\frac {d\Omega }{dy}}+{\frac {d\Omega }{dy'}}+{\frac {d\Omega }{dy''}}+\ldots =&0,\\{\frac {d\Omega }{dz}}+{\frac {d\Omega }{dz'}}+{\frac {d\Omega }{dz''}}+\ldots =&0.\end{aligned}}$

4. Si dans les trois équations qu’on vient de trouver on substitue à la place des quantités ${\frac {d\Omega }{dx}},{\frac {d\Omega }{dy}},\ldots$ leurs valeurs tirées des équations du n^o 2, on aura ces trois équations-ci

${\begin{aligned}\mathrm {M} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {M} '{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+\mathrm {M} ''{\frac {d^{2}x''}{dt^{2}}}+\ldots =&0,\\\mathrm {M} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {M} '{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\mathrm {M} ''{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}+\ldots =&0,\\\mathrm {M} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {M} '{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}+\mathrm {M} ''{\frac {d^{2}z''}{dt^{2}}}+\ldots =&0,\end{aligned}}$

qui renferment la propriété connue du centre de gravité.