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En effet, si l’on nomme $\mathrm {X,Y,Z}$ les coordonnées rectangles qui déterminent la position du centre de gravité de tout le système, on a, comme l’on sait,

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&{\frac {\mathrm {M} x+\mathrm {M} 'x'+\mathrm {M} ''x''+\ldots }{\mathrm {M+M'+M''} +\ldots }},\\\mathrm {Y} =&{\frac {\mathrm {M} y+\mathrm {M} 'y'+\mathrm {M} ''y''+\ldots }{\mathrm {M+M'+M''} +\ldots }},\\\mathrm {Z} =&{\frac {\mathrm {M} z+\mathrm {M} 'z'+\mathrm {M} ''z''+\ldots }{\mathrm {M+M'+M''} +\ldots }}\,;\end{aligned}}$

donc on aura, par les équations ci-dessus,

${\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}=0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}=0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}=0,$

ce qui montre que le mouvement du centre de gravité ne peut être que rectiligne et uniforme.

5. De là il s’ensuit que, si l’on place dans le centre de gravité l’origine des coordonnées $x,y,z,x',y',\ldots ,$ on aura les mêmes équations du n^o 2, où l’origine des coordonnées est supposée dans un point fixe ; car il est visible que, pour réduire ces dernières coordonnées à celles-là, il n’y a qu’à substituer

$x+\mathrm {X} ,\quad y+\mathrm {Y} ,\quad z+\mathrm {Z} ,\quad x'+\mathrm {X} ,\quad y'+\mathrm {Y} ,\ldots$

à la place de

$x,\ \ y,\ \ z,\ \ x',\ \ y',\ldots \,;$

or ces substitutions ne changent point la quantité $\Omega ,$ comme on l’a déjà observé (3), donc elles ne changent pas non plus les quantités ${\frac {d\Omega }{dx}},$${\frac {d\Omega }{dy}},\ldots \,;$ et à cause de

${\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}=0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}=0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}=0,$

il est visible que les termes ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ldots$ seront encore les mêmes après les substitutions dont il s’agit (4) donc, etc.