On aura donc, aux quantités du second ordre près,
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} '}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}+{\frac {\mathrm {M} ''}{\sqrt {(x-x'')^{2}+(y-y'')^{2}+(z-z'')^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac4c24c35d6e45575689c3ddb60e26075d25cf6)
![{\displaystyle +{\frac {\mathrm {M} '''}{\sqrt {(x-x''')^{2}+(y-y''')^{2}+(z-z''')^{2}}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a38a9cf5697cc6d1ba820cbeeba4ef111645b9a)
![{\displaystyle ={\frac {\mathrm {M'+M''+M'''} +\ldots }{\sqrt {(x-\mathrm {X} ')^{2}+(y-\mathrm {Y} ')^{2}+(z-\mathrm {Z} ')^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab898dbfb557e33401b3795845a51e25fe61c604)
Donc la partie de la valeur de
(1) laquelle contient les variables
, qui est par conséquent la seule à laquelle on doive avoir regard dans les quantités
sera, aux quantités du second ordre près,
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M(M'+M''+M'''} +\ldots )}{\sqrt {(x-\mathrm {X} ')^{2}+(y-\mathrm {Y} ')^{2}+(z-\mathrm {Z} ')^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7bd288beb2c7d57d1d549642be2086e079eb9a)
expression qui est, comme l’on voit, semblable à celle de
dans le cas où il n’y a que deux corps
et
(10), pourvu qu’on prenne à la place du corps
la somme des corps
et à la place des coordonnées
du corps
les coordonnées
du centre de gravité des corps ![{\displaystyle \mathrm {M',M'',M'''} ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60212a6f9e02e62326c314a99e6274572f6b096e)
De plus, en plaçant l’origine des coordonnées dans le centre commun de gravité de tous les corps, on aura, en vertu des équations du no 5, celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} x+&(\mathrm {M\ +M'\ +M''\ +\ldots )X'} =0,\\\mathrm {M} y+&(\mathrm {M'+M''+M'''+\ldots \,)Y'} =0,\\\mathrm {M} z+&(\mathrm {M'+M''+M'''+\ldots \,)Z'} \,=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1789db07546aad7daffeb390b42b47174238fb26)
qu’on voit aussi être analogues à celles, qui ont lieu dans le cas de deux corps (10) en prenant, comme ci-dessus,
et
à la place de
et ![{\displaystyle \mathrm {M} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c44eea476e20cbf9e00186d44b59ffc49333f8)
D’où il est aisé de conclure que si l’on regarde les corps
comme réunis en un seul corps dans leur centre de gravité, ce corps et le corps
auront, aux quantités du second ordre près, le même mouvement que si c’étaient deux corps uniques qui s’attirassent mutuellement en raison directe des masses et en raison inverse du carré de la distance.