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12. Qu’on suppose présentement que dans le système des corps $\mathrm {M,M',M'',M'''} ,\ldots$ il y en ait deux $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} ',$ qui soient fort éloignés des autres corps $\mathrm {M'',M'''} ,\ldots ,$ par rapport à la distance où ils sont l’un de l’autre ; et qu’on cherche le mouvement du centre de gravité de ces corps. Nommant $\mathrm {X,Y,Z}$ les coordonnées de ce centre, on aura, comme l’on sait,

$\mathrm {X} ={\frac {\mathrm {M} x+\mathrm {M} 'x'}{\mathrm {M+M'} }},\quad \mathrm {Y} ={\frac {\mathrm {M} y+\mathrm {M} 'y'}{\mathrm {M+M'} }},\quad \mathrm {Z} ={\frac {\mathrm {M} z+\mathrm {M} 'z'}{\mathrm {M+M'} }},$

et pour avoir les équations du mouvement du même centre, il n’y aura qu’à substituer dans les valeurs de ${\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}},{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}},{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}$ celles des quantités ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},$${\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ldots$ tirées des équations du n^o 2. ce qui donnera

${\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}={\frac {{\cfrac {d\Omega }{dx}}+{\cfrac {d\Omega }{dx'}}}{\mathrm {M+M} '}},\quad {\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}={\frac {{\cfrac {d\Omega }{dy}}+{\cfrac {d\Omega }{dy'}}}{\mathrm {M+M} '}},\quad {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}={\frac {{\cfrac {d\Omega }{dz}}+{\cfrac {d\Omega }{dz'}}}{\mathrm {M+M} '}}.$

Or on a

${\begin{alignedat}{3}x\,\ =&\mathrm {X} +{\frac {\mathrm {M} '(x'-x)}{\mathrm {M+M'} }},\quad &y\,\ =&\mathrm {Y} +{\frac {\mathrm {M} '(y'-y)}{\mathrm {M+M'} }},\quad &z\,\ =&\mathrm {Z} +{\frac {\mathrm {M} '(z'-z)}{\mathrm {M+M'} }},\\x'=&\mathrm {X} +{\frac {\mathrm {M} (x-x')}{\mathrm {M+M'} }},\qquad &y'=&\mathrm {Y} +{\frac {\mathrm {M} (y-y')}{\mathrm {M+M'} }},\qquad &z'=&\mathrm {Z} +{\frac {\mathrm {M} (z-z')}{\mathrm {M+M'} }},\\\end{alignedat}}$

Donc, si l’on fait ces substitutions dans les expressions

${\frac {1}{\sqrt {(x-x'')^{2}+(y-y'')^{2}+(z-z'')^{2}}}},\ \ {\frac {1}{\sqrt {(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}+(z'-z'')^{2}}}},$

et qu’on traite comme une quantité très-petite du premier ordre le rapport de la distance

${\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}$

entre les corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} ',$ à la distance.

${\sqrt {(\mathrm {X} -x'')^{2}+(\mathrm {Y} -y'')^{2}+(\mathrm {Z} -z'')^{2}}}$

entre le centre de gravité des mêmes corps et le corps $\mathrm {M} '',$ on aura,