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donc, si l’on rejette ce terme et qu’on fasse dans les autres termes de 12 les substitutions ci-dessus, on aura le même résultat que si l’on supposait

$x=x'=\mathrm {X} ,\quad y=y'=\mathrm {Y} ,\quad z=z'=\mathrm {Z} .$

Mais puisque

$\mathrm {X} ={\frac {\mathrm {M} x+\mathrm {M} 'x'}{\mathrm {M+M'} }},$

on aura

${\frac {d\Omega }{dx}}=\mathrm {\frac {M}{M+M'}} {\frac {d\Omega }{d\mathrm {X} }},\quad {\frac {d\Omega }{dx'}}=\mathrm {\frac {M'}{M+M'}} {\frac {d\Omega }{d\mathrm {X} }}\,;$

donc

${\frac {d\Omega }{dx}}+{\frac {d\Omega }{dx'}}={\frac {d\Omega }{d\mathrm {X} }}\,;$

et l’on aura de même

${\frac {d\Omega }{dy}}+{\frac {d\Omega }{dy'}}={\frac {d\Omega }{d\mathrm {Y} }},\quad {\frac {d\Omega }{dz}}+{\frac {d\Omega }{dz'}}={\frac {d\Omega }{d\mathrm {Z} }}.$

Donc le mouvement du centre de gravité des corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} '$ sera déterminé, aux quantités du second ordre près, par les équations

${\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {M+M'} }}{\frac {d\Omega }{d\mathrm {X} }},\quad {\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {M+M'} }}{\frac {d\Omega }{d\mathrm {Y} }},\quad {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {M+M'} }}{\frac {d\Omega }{d\mathrm {Z} }},$

dans lesquelles la quantité $\Omega$ sera ce que devient la valeur de $\Omega$ du n^o 1, en y faisant

$x=x'=\mathrm {X} ,\quad y=y'=\mathrm {Y} ,\quad z=z'=\mathrm {Z} .$

D’oü je conclus sur-le-champ que le mouvement du centre de gravité dont il s’agit sera, aux quantités du second ordre près, le même que si les deux corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} '$ étaient réunis dans ce centre et ne formaient plus qu’un seul corps.

13. On peut étendre cette démonstration a autant de corps que l’on voudra, et il en résultera que si plusieurs corps s’attirent mutuellement et sont attirés par autant d’autres corps qu’on voudra, dont ils soient fort éloignés par rapport aux distances de ces corps entre eux, le mouvement du centre de gravité de ces corps sera, aux quantités très-petites du second ordre près, le même que si ces corps y étaient réunis et ne formaient qu’un corps unique.