culière de l’équation différentielle dont nous parlons, ainsi qu’on l’a démontré ci-dessus, il résulte de là la même règle pour trouver ces sortes d’intégrales, que nous avons donnée dans le no 15, d’après d’autres principes.
25. Pour jeter un plus grand jour sur la théorie précédente et rendre bien sensible la liaison qu’il y a entre les intégrales complètes et les intégrales particulières, nous allons apporter quelques Exemples tirés de la Géométrie dans lesquels l’application de cette théorie se présente naturellement.
Supposons qu’on demande une courbe telle, que toutes les perpendiculaires menées d’un point donné sur les tangentes de cette courbe soient d’une grandeur donnée.
Il est visible que le cercle résout d’abord la question, pourvu qu’on place le centre dans le point donné et qu’on fasse le rayon égal à la grandeur donnée ; mais comme le Problème conduit naturellement à une équation différentielle du premier ordre, il s’ensuit que la solution complète doit renfermer une constante arbitraire ; par conséquent, puisque le cercle qui résout le Problème est nécessairement donné de grandeur et de position, on ne peut pas avoir par son moyen une solution complète, mais seulement une solution particulière.
Or si l’on considère que la ligne droite satisfait aussi au même Problème, et que pour cela il suffit que la perpendiculaire menée du point donné sur cette ligne soit donnée, on verra qu’il y a une infinité de droites qui résolvent le Problème ; de sorte que ces droites en donnent la véritable solution complète, puisque dans l’équation qui les représente toutes il entre nécessairement une constante arbitraire ; et l’on verra de plus que toutes ces droites sont nécessairement les tangentes du cercle qui donne la solution particulière.
Pour confirmer par le calcul ce que nous venons de trouver synthétiquement, soient les coordonnées de la courbe cherchée, et les coordonnées d’une quelconque de ses tangentes considérée comme
