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une ligne droite ; on aura donc, en général, entre $t$ et $u$ l’équation

$u=mt+n,$

$m$ et $n$ étant constantes pour la même tangente, mais variables d’une tangente à l’autre. Or, comme la droite et la courbe doivent d’abord se rencontrer dans un point, on aura dans ce point $u=y,$ $t=x\,;$ donc

$y=mx+n\,;$

ensuite, comme elles doivent de plus se toucher dans le même point, on aura encore ${\frac {du}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\,;$ mais ${\frac {du}{dt}}=m\,;$ donc $m={\frac {dy}{dx}}\,;$ et par conséquent $n=y-x{\frac {dy}{dx}}\,;$ donc l’équation à la tangente sera

$u=t{\frac {dy}{dx}}+y-x{\frac {dy}{dx}}.$

Prenons l’origine des coordonnées pour le point donné, et nommant $\rho$ une ligne menée de ce point à la tangente, on aura

$\rho ^{2}=t^{2}+u^{2}\,;$

donc, pour que cette ligne soit perpendiculaire, il faudra que $d\rho =0,$ ce qui donne

$tdt+udu=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {du}{dt}}=-{\frac {t}{u}}\,;$

donc

${\frac {t}{u}}=-{\frac {dy}{dx}},\quad t=-u{\frac {dy}{dx}}\,;$

donc, substituant cette valeur de $t$ dans l’équation ci-dessus, on en tire

$u={\frac {(ydx-xdy)dx}{dx^{2}+dy^{2}}}\,;$

donc

$\rho ^{2}=u^{2}\left(1+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}\right)={\frac {(ydx-xdy)^{2}}{dx^{2}+dy^{2}}}\,;$

c’est le carré de la perpendiculaire menée du point donné sur la tan-