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ensuite on aura

$\xi =\rho \cos \alpha \cos \beta ,\quad \eta =\rho \sin \alpha \cos \beta ,\quad \zeta =\rho \sin \beta .$

Ces formules sont si connues que je ne crois pas devoir m’arrêter à les démontrer.

2. Faisant donc ces substitutions, on aura

${\begin{aligned}x=&\mathrm {R} \cos \mathrm {A} +\rho \cos \alpha \cos \beta ,\\y=&\mathrm {R} \,\sin \mathrm {A} +\rho \sin \alpha \cos \beta ,\\z=&\rho \sin \beta ,\end{aligned}}$

d’où l’on voit que les trois coordonnées $x,y,z$ ne dépendent que d’une seule inconnue $\rho ,$ qui est la distance de la Comète à la Terre. C’est à quoi se réduisent les données que chaque observation peut fournir. Le reste des données nécessaires pour la solution du Problème dépend de la figure parabolique de l’orbite de la Comète et de l’intervalle de temps écoulé entre les observations.

3. Pour mettre dans nos calculs le plus d’ordre et de clarté qu’il est possible, nous désignerons toujours les mêmes quantités par les mêmes lettres dans chaque observation ; mais nous marquerons celles qui se rapportent à la première observation par un trait, celles qui se rapportent à la seconde par deux traits, et ainsi de suite. De cette manière $x',y',z'$ seront les coordonnées rectangles du lieu de la Comète dans la première observation, $\rho '$ sa distance à la Terre, $\alpha ',\beta '$ sa longitude et sa latitude géocentriques, etc.

4. Cela posé, avant de faire entrer dans le calcul la considération de la parabole, nous commencerons par ne considérer que la condition qui exige que tous les lieux de la Comète soient dans un même plan passant par le Soleil. La manière la plus simple et la plus directe d’exprimer cette condition analytiquement est de considérer l’équation générale d’un plan passant par l’origine des coordonnées, qu’on sait être de cette forme

$z=\mathrm {B} y-\mathrm {C} x,$