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8. En effet on aura, par les substitutions dont il s’agit, ces trois équations

${\begin{aligned}\mathrm {N} \rho '\cos \alpha '\cos \beta '&-\mathrm {M} \rho ''\cos \alpha ''\cos \beta ''+\mathrm {L} \rho '''\cos \alpha '''\cos \beta '''\\+&\mathrm {NR'\cos A'-MR''\cos A''+LR'''\cos A'''} =0,\\\mathrm {N} \rho '\sin \alpha '\cos \beta '&-\mathrm {M} \rho ''\sin \alpha ''\cos \beta ''+\mathrm {L} \rho '''\sin \alpha '''\cos \beta '''\\+&\mathrm {NR'\sin A'-MR''\sin A''+LR'''\sin A'''} =0,\\\mathrm {N} \rho '\sin \beta '-\ \mathrm {M} &\rho ''\sin \beta ''+\mathrm {L} \sin \beta '''=0.\end{aligned}}$

Qu’on multiplie la première par $\sin \alpha '''$ et qu’on en retranche la seconde multipliée par $\cos \alpha ''',$ on aura

$\mathrm {N} \rho '\sin(\alpha '''-\alpha ')\cos \beta '-\mathrm {M} \rho ''\sin(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta ''$

$+\mathrm {NR'\sin(\alpha '''-A')-MR''\sin(\alpha '''-A'')+LR'''\sin(\alpha '''-A''')} =0.$

Qu’on multiplie encore la première par $\cos \alpha '''$ et qu’on y ajoute la seconde multipliée par $\sin \alpha ''',$ on aura

$\mathrm {N} \rho '\cos(\alpha '''-\alpha ')\cos \beta '-\mathrm {M} \rho ''\cos(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta ''+\mathrm {L} \rho '''\cos \beta '''$

$+\mathrm {NR'\cos(\alpha '''-A')-MR''\cos(\alpha '''-A'')+LR'''\cos(\alpha '''-A''')} =0.$

Qu’on multiplie maintenant celle-ci par $\sin \beta '''$ et qu’on la retranche de la troisième multipliée par $\cos \beta ''',$ on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {N} \,\rho '\ \left[\sin \beta '\,\cos \beta '''-\cos(\alpha '''-\alpha '\ )\cos \beta '\,\sin \beta '''\right]\\-&\mathrm {M} \rho ''\left[\sin \beta ''\cos \beta '''-\cos(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta ''\sin \beta '''\right]\\-&\mathrm {NR'\cos(\alpha '''-A')\sin \beta '''+MR''\cos(\alpha '''-A'')\sin \beta '''} \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\mathrm {LR'''\cos(\alpha '''-A''')\sin \beta '''} =0.\end{aligned}}$

Qu’on multiplie enfin la première réduite, trouvée ci-dessus, par

$\sin \beta ''\cos \beta '''-\cos(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta ''\sin \beta ''',$

et qu’on en retranche l’équation précédente multipliée par

$\sin(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta '',$