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on aura, après les réductions,

$\mathrm {N} \rho '\left[\sin(\alpha '''-\alpha ')\cos \beta '''\cos \beta '\sin \beta ''-\sin(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta '''\cos \beta ''\sin \beta '\right.$

${\begin{aligned}\left.-\sin(\alpha ''-\alpha ')\cos \beta ''\cos \beta '\sin \beta '''\right]&\\+\mathrm {N\,R'\ \left[\sin(\alpha '''-A'\ )\cos \beta '''\sin \beta ''-\sin(\alpha ''-A'\ \ )\cos \beta ''\sin \beta '''\right]} &\\-\mathrm {MR''\left[\sin(\alpha '''-A''\,)\cos \beta '''\sin \beta ''-\sin(\alpha ''-A''\ )\cos \beta ''\sin \beta '''\right]} &\\+\mathrm {L\ R''\left[\sin(\alpha '''-A''')\cos \beta '''\sin \beta ''-\sin(\alpha ''-A''')\cos \beta ''\sin \beta '''\right]} &=0.\end{aligned}}$

D’où, en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\gamma &=\sin(\alpha ''\,-\alpha '\,\ )\cos \beta '\ \ \cos \beta ''\ \sin \beta '''\\&+\sin(\alpha '''-\alpha ''\ )\cos \beta ''\ \cos \beta '''\sin \beta '\\&+\sin(\alpha '\ \ -\alpha ''')\cos \beta '''\cos \beta '\ \ \sin \beta ''\end{aligned}}$

on tire

${\begin{aligned}\rho '&=\sin \beta ''\cos \beta '''\\&\times \mathrm {\frac {NR'\sin(\alpha '''-A')-MR''\sin(\alpha '''-A'')+LR'''\sin(\alpha '''-A''')}{N\gamma }} \\&-\cos \beta ''\sin \beta '''\\&\times \mathrm {\frac {NR'\sin(\alpha ''-A')-MR''\sin(\alpha ''-A'')+LR'''\sin(\alpha ''-A''')}{N\gamma }} .\end{aligned}}$

On trouvera de même les valeurs de $\rho ''$ et de $\rho ''',$ et pour cela il n’y aura qu’à changer, dans l’expression précédente, d’abord $\mathrm {N}$ en $-\mathrm {M}$ e $'$ en $''$ et ensuite $\mathrm {N}$ en $\mathrm {L}$ et $'$ en $''',$ et vice versâ.

Donc, si l’on fait de plus

${\begin{aligned}\Gamma '\ \ =&\mathrm {NR'\sin(\alpha '\ -A')-MR''\sin(\alpha '\ \ -A'')+LR'''\sin(\alpha '\ \ -A''')} ,\\\Gamma ''\ =&\mathrm {NR'\sin(\alpha ''\,-A')-MR''\sin(\alpha ''\ -A'')+LR'''\sin(\alpha ''\ -A''')} ,\\\Gamma '''=&\mathrm {NR'\sin(\alpha '''-A')-MR''\sin(\alpha '''-A'')+LR'''\sin(\alpha '''-A''')} ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&\mathrm {\frac {\Gamma '''\sin \beta ''\cos \beta '''-\Gamma ''\sin \beta '''\cos \beta ''}{N\gamma }} ,\\\rho ''\ =&\mathrm {\frac {\Gamma '\ \ \sin \beta '''\cos \beta '\ -\Gamma '''\sin \beta '\cos \beta '''}{-M\gamma }} ,\\\rho '''=&\mathrm {\frac {\Gamma ''\ \sin \beta '\ \ \cos \beta ''-\Gamma '\sin \beta ''\cos \beta '}{L\gamma }} .\end{aligned}}$

Or on a, en général (3),

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=\mathrm {R^{2}+2\rho R\cos(\alpha -A)\cos \beta +\rho ^{2}} \,;$