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et $b$ en $x$ et $y\,;$ et il n’y aura plus qu’à substituer ces valeurs de $a$ et $b$ dans l’équation

${\frac {dy}{da}}da+{\frac {dy}{db}}db=0\,;$

ce qui donnera une équation différentielle du premier ordre en $x$ et $y,$ laquelle sera par conséquent l’intégrale particulière cherchée de l’équation du second ordre

$\mathrm {Z} '=0.$

Mais puisque l’équation $\mathrm {V} =0$ donne par la différentiation, en faisant varier à la fois $x,y,a,b,$

$dy=pdx+{\frac {dy}{da}}da+{\frac {dy}{db}}db=0,$

on aura

${\frac {dy}{da}}da+{\frac {dy}{db}}db=dy-pdx\,;$

par conséquent l’équation

${\frac {dy}{da}}da+{\frac {dy}{db}}db=0$

sera équivalente à celle-ci

$dy-pdx=0\,;$

ainsi il n’y aura qu’à substituer les valeurs de $a$ et de $b$ dans cette dernière équation, ou, ce qui revient au même, éliminer les valeurs de $a$ et de $b$ au moyen des équations

$\mathrm {V} =0,\quad {\frac {dy}{da}}{\frac {d^{2}y}{dxdb}}-{\frac {dy}{db}}{\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,\quad dy-pdx=0\,;$

l’équation du premier ordre qui en résultera sera l’intégrale particulière dont il s’agit.

29. De là je conclus, en général, que pour trouver l’intégrale particulière de l’équation différentio-différentielle $\mathrm {Z} '=0,$ dont l’intégrale