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finie et complète est $\mathrm {V} =0,$ il n’y a qu’à éliminer les quantités $a,b$ et ${\frac {db}{da}}$ au moyen des équations

$\mathrm {V} =0,\quad {\frac {dy}{dx}}-p=0,\quad {\frac {dy}{da}}+{\frac {dy}{db}}{\frac {db}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}+{\frac {d^{2}y}{dxdb}}{\frac {db}{da}}=0\,;$

et comme au lieu de regarder $y$ comme une fonction de $x,a,b,$ on peut vice versâ regarder $x$ comme une fonction de $y,a,b,$ on pourra aussi, à la place des deux dernières équations, substituer ces deux-ci

${\frac {dx}{da}}+{\frac {dx}{db}}{\frac {db}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dyda}}+{\frac {d^{2}x}{dydb}}{\frac {db}{da}}=0.$

30. Soit l’équation du second ordre

$y-x{\frac {dy}{dx}}+{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=\left({\frac {dy}{dx}}-x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)^{2},$

dont l’intégrale finie et complète est

$y={\frac {ax^{2}}{2}}+bx+a^{2}+b^{2},$

$a$ et $b$ étant les deux constantes arbitraires. On tire par la différentiation

${\frac {dy}{dx}}=ax+b,\quad {\frac {dy}{da}}={\frac {x^{2}}{2}}+2a,\quad {\frac {dy}{db}}=x+2b,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=x,\quad {\frac {d^{2}y}{dxdb}}=1\,;$

on aura donc ces quatre équations

${\begin{array}{ll}y={\dfrac {ax^{2}}{2}}+bx+a^{2}+b^{2},&{\dfrac {dy}{dx}}=ax+b,\\{\dfrac {x^{2}}{2}}+2a+(x+2b){\dfrac {db}{da}}=0,&x+{\dfrac {db}{da}}=0\,;\end{array}}$

au moyen desquelles, éliminant les quantités $a,b,{\frac {db}{da}},$ on aura pour résultante l’intégrale particulière de la proposée.