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Enfin on aura par la même raison

$\mathrm {M=T'''} {\sqrt {2p}},$

en dénotant par $\mathrm {T} '''$ ce que devient $\mathrm {T} '$ lorsqu’on y change $r''$ en $r'''$ et $\theta '$ en $\theta '+\theta ''.$

Si donc on substitue ces valeurs dans les expressions de $\Gamma ',\Gamma '',\Gamma '''$ du n^o 8, et qu’on fasse, en général,

$\Delta =\mathrm {T''R'\sin(\alpha -A')-T'''R''\sin(\alpha -A'')+T'R'''\sin(\alpha -A''')} ,$

qu’ensuite on dénote par $\Delta ',\Delta '',\Delta '''$ les valeurs de $\Delta$ correspondantes à $\alpha =\alpha ',\alpha '',\alpha ''',$ on aura

$\Gamma '=\Delta '{\sqrt {2p}},\quad \Gamma ''=\Delta ''{\sqrt {2p}},\quad \Gamma '''=\Delta '''{\sqrt {2p}}.$

Donc enfin

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&{\frac {\Delta '''\sin \beta ''\ \cos \beta '''-\Delta ''\ \sin \beta '''\cos \beta ''}{\mathrm {T} ''\gamma }},\\\rho ''\ =&{\frac {\Delta '\ \ \sin \beta '''\cos \beta '\ \ -\Delta '''\sin \beta '\ \ \cos \beta '''}{-\mathrm {T} '''\gamma }},\\\rho '''=&{\frac {\Delta ''\ \sin \beta '\ \ \cos \beta ''\ -\Delta '\ \ \sin \beta ''\ \cos \beta '}{\mathrm {T} '\gamma }},\end{aligned}}$

la quantité $\gamma$ étant (numéro cité)

${\begin{aligned}\gamma =&\sin(\alpha ''-\alpha ')\cos \beta '\cos \beta ''\sin \beta '''+\sin(\alpha '''-\alpha '')\cos \beta ''\cos \beta '''\sin \beta '\\&+\sin(\alpha '-\alpha ''')\cos \beta '''\cos \beta '\sin \beta ''.\end{aligned}}$

Telles sont les formules rigoureuses du Problème des Comètes, présentées sous la forme la plus simple et en même temps la plus propre à fournir des approximations directes et faciles.

On se souviendra que dans ces formules $\alpha ',\alpha '',\alpha '''$ sont les trois longitudes de la Comète observées, $\beta ',\beta '',\beta '''$ fi', \beta"' les trois latitudes observées, $\mathrm {A',A'',A'''}$ les trois longitudes de la Terre dans les instants des observations, $\mathrm {R',R'',R'''} ,$ les trois distances de la Terre au Soleil dans les mêmes instants (en prenant la distance moyenne pour l’unité), $\theta ',\theta ''$ les intervalles entre les deux premières et entre les deux dernières observations, ou plutôt