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2. En intégrant les équations précédentes, on aura les valeurs de $x,y,z$ pour un temps quelconque ; ces valeurs sont assez connues et l’on sait que dans les orbites fort allongées, comme celles des Comètes, il est impossible de les exprimer directement en fonction de $t\,;$ mais lorsqu’on ne les demande que pour un intervalle de temps peu considérable, on peut toujours les réduire en suites infinies d’autant plus convergentes que cet intervalle sera plus petit ; et dans ce cas on peut même se passer d’intégration, et parvenir au but par de simples différentiations réitérées.

En effet, en regardant $x,y,z$ comme des fonctions de $t,$ et supposant que $t$ y devienne $t+\theta ,$ $\theta$ étant un angle assez petit, les valeurs de $x,y,z$ deviendront par le Théorème connu

${\begin{aligned}x+{\frac {dx}{dt}}\theta &+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {\theta ^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\y+{\frac {dy}{dt}}\theta &+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {\theta ^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\z+{\frac {dz}{dt}}\theta &+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\theta ^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}z}{dt^{3}}}{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots .\end{aligned}}$

De sorte qu’il ne s’agira que d’avoir les valeurs des différences successives de $x,y,z$ déduites des équations proposées ; ce qui ne demande que de simples différentiations et substitutions.

3. Pour faciliter davantage ces opérations, il est bon d’avoir aussi une équation différentielle en $r,$ et pour cela on n’a qu’à remarquer que

$rdr=xdx+ydr+zdz,$

et par conséquent

$d(rdr)=xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.$

Or les équations différentielles du n^o 1 donnent (en faisant $\mathrm {S} =1$)

${\frac {xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r}}=0\,;$

et les mêmes équations étant multipliées respectivement par $2dy,\ 2dy,$