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$2dz,$ ensuite ajoutées ensemble et intégrées, donnent

${\frac {d^{2}x+d^{2}y+d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {2}{r}}+{\frac {1}{a}}=0,$

$a$ étant une constante arbitraire.

Donc on aura sur-le-champ cette équation en $r$ et $t$

${\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}-{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{a}}=0,$

laquelle étant différentiée pour en chasser la constante $a,$ on aura

${\frac {d^{2}(rdr)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}=0.$

Et si l’on fait, pour plus de simplicité, $r^{2}=s,$ on aura cette équation

${\frac {d^{3}s}{dt^{3}}}+{\frac {1}{s^{\frac {3}{2}}}}{\frac {ds}{dt}}=0.$

Avant d’aller plus loin, nous remarquerons qu’en intégrant cette équation, on a

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-{\frac {2}{\sqrt {s}}}+{\frac {2}{a}}=0\,;$

multipliant par $ds$ et intégrant de nouveau, on aura

${\frac {1}{2}}{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}-4{\sqrt {s}}+{\frac {2s}{a}}+b=0,$

$a$ et $b$ étant deux constantes. Or cette dernière intégrale donne, en remettant $r^{2}$ à la place de $s,$

$dt={\frac {rdr}{\sqrt {-b+2r-{\frac {r^{2}}{a}}}}}\,;$

d’où il est aisé de conclure que $a$ est le demi-axe de la section conique et $b$ le demi-paramètre. Car en faisant $dr=0,$ on aura pour les deux apsides

$-b+2r-{\frac {r^{2}}{a}}=0,\quad {\text{savoir}}\quad r^{2}-2ar+ab=0\,;$