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en sorte que $2a$ sera la somme de la plus grande et de la plus petite distance et $ab$ le produit.

4. Cela posé, nous avons donc (en prenant la distance moyenne du Soleil à la Terre pour l’unité, le mouvement moyen de cet astre pour le temps $t,$ et faisant $r^{2}=s$) ces quatre équations différentielles

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {x}{s^{\frac {3}{2}}}}=0,\ \ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {y}{s^{\frac {3}{2}}}}=0,\ \ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{s^{\frac {3}{2}}}}=0,\ \ {\frac {d^{3}s}{dt^{3}}}+{\frac {1}{s^{\frac {3}{2}}}}{\frac {ds}{dt}}=0.$

Ainsi l’on aura par des différentiations et des substitutions consécutives

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&-{\frac {x}{s^{\frac {3}{2}}}},\\{\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}=&{\frac {3}{2s^{\frac {5}{2}}}}{\frac {ds}{dt}}x-{\frac {1}{s^{\frac {3}{2}}}}{\frac {dx}{dt}},\\{\frac {d^{4}x}{dt^{4}}}=&\left({\frac {3}{2s^{\frac {5}{2}}}}{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-{\frac {3.5}{4s^{\frac {7}{2}}}}{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{s^{3}}}\right)x+{\frac {3}{s^{\frac {5}{2}}}}{\frac {ds}{dt}}{\frac {dx}{dt}},\\{\frac {d^{5}x}{dt^{5}}}=&\left(-{\frac {15}{2s^{4}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {9.5}{4s^{\frac {7}{2}}}}{\frac {dsd^{2}s}{dt^{3}}}+{\frac {3.5.7}{8s^{\frac {9}{2}}}}{\frac {ds^{3}}{dt^{3}}}\right)x\end{aligned}}$

$+\left({\frac {9}{2s^{\frac {5}{2}}}}{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-{\frac {9.5}{4s^{\frac {7}{2}}}}{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{s^{3}}}\right){\frac {dx}{dt}},$

et ainsi de suite.

Et l’on aura de pareilles formules pour les différences de $y$ et $z.$

5. Si donc on fait ces substitutions dans les formules du n^o 2 et qu’après avoir remis $r^{2}$ à la place de $s,$ on suppose, pour abréger,

${\begin{aligned}f=1&-{\frac {\theta ^{2}}{2}}{\frac {1}{r^{3}}}+{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}{\frac {3}{r^{4}}}{\frac {dr}{dt}}+{\frac {\theta ^{4}}{2.3.4}}\left[{\frac {3}{r^{5}}}{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}-{\frac {3.5}{r^{5}}}{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{6}}}\right]\\&-{\frac {\theta ^{5}}{2.3.4.5}}\left[{\frac {3.5}{r^{7}}}{\frac {d(dr}{dt}}+{\frac {9.5}{r^{6}}}{\frac {drd(rdr)}{dt^{3}}}-{\frac {3.5.7}{r^{6}}}{\frac {r^{3}}{t^{3}}}\right]-\ldots ,\\\\g=\theta &-{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}{\frac {1}{r^{3}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2.3.4}}{\frac {6}{r^{4}}}{\frac {dr}{dt}}+{\frac {\theta ^{5}}{2.3.4.5}}\left[{\frac {9}{r^{5}}}{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}-{\frac {9.5}{r^{5}}}{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{6}}}\right]-\ldots ,\end{aligned}}$