au lieu de
et
au lieu de
de sorte que cette valeur sera
![{\displaystyle \left(fx+g{\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left(fy+g{\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left(fz+g{\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d73b0bf914d6cf40ab14307c24392295162f0d6)
ou bien
![{\displaystyle f^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+2fg\left(x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}+z{\frac {dz}{dt}}\right)+g^{2}\left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a5288ad8d1042f664df414cae5759608ee7c973)
mais on a
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},\quad xdx+ydy+zdz=rdr,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/170d01bd4075c7b63d267de0d5d9d7bfd4266fb4)
![{\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=d(rdr)-xd^{2}x-yd^{2}y-zd^{2}z=d(rdr)+{\frac {dt^{2}}{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d055e521f6e1d9104fd5fbb839c79f54e37e7913)
donc, substituant et divisant par
on aura
![{\displaystyle h=f^{2}+fg{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}+g^{2}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f81bff7febe000ee7d3d76ea913574cbf4f625a)
et mettant pour
et
leurs valeurs, il viendra la même formule que nous venons de trouver par une voie plus simple et plus directe.
8. Regardons maintenant la quantité
comme constante et
comme variable, il est clair que les quantités
![{\displaystyle x,y,z,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},r{\frac {dr}{dt}},{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e096f58a67d6d3830a2f378c818f8233887411)
qui sont des fonctions de
seront aussi constantes par rapport à
ainsi l’on aura, par les formules des numéros précédents, les valeurs des coordonnées
et du rayon vecteur
en fonction de ces dernières constantes et de la variable, et ces valeurs seront d’autant plus exactes que l’angle
sera plus petit.
Or, puisque (7)
![{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},\quad {\frac {rdr}{dt}}={\frac {xdx+ydy+zdz}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7432247866d3bd821e7ff8cf691adeb0cfce3a2)
![{\displaystyle {\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {1}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1049aaf97194c86ed73a9dab3866d4c8e89034)
on voit que ces différentes constantes se réduisent à ces six ![{\displaystyle x,y,z,{\frac {dx}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd304e9578304e7ac19588981b22ccff39f3aadc)