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${\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ lesquelles dépendent de la vitesse et de la direction du corps, lorsque $\theta =0\,;$ de sorte que les formules du n^o 5 sont en effet les intégrales complètes des trois équations différentielles du n^o 1, en y supposant $dt=d\theta ,$ mais intégrales en série et seulement approchées.

9. Les mêmes constantes déterminent aussi les éléments de l’orbite. Car en nommant, comme dans le n^o 3, $a$ le demi-grand axe de l’orbite et $b$ le demi-paramètre, on a d’abord

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{r}}-{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}},\quad b=2r-{\frac {r^{2}}{a}}-r^{2}{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}.$

Ensuite, si l’on nomme $\varphi$ l’angle du rayon $r$ avec la ligne du périhélie, on aura, par la nature des sections coniques,

${\frac {b}{r}}=1+e\cos \varphi ,$

$e$ étant l’excentricité de l’orbite, $={\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}}.$

D’où l’on voit que les trois quantités $r,{\frac {dr}{dt}},{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}$ donnent immédiatement les dimensions de l’orbite et la position du périhélie sur l’orbite ; en sorte qu’il sera facile de calculer par les formules connues le temps du passage par le périhélie.

Lorsque l’orbite est parabolique, comme le sont à peu près celles des Comètes, on a $a=\infty \,;$ donc

${\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}={\frac {1}{r}}\,;$

ce qui simplifie les expressions de $f,g,h.$

À l’égard de la position du plan de l’orbite, si l’on nomme $\varpi$ l’inclinaison par rapport au plan des $x$ et $y,$ et $\psi$ l’angle de la ligne des nœuds avec l’axe des $x,$ on aura par les formules connues

$\operatorname {tang} \varpi \sin \psi ={\frac {ydz-zdy}{xdy-ydx}},\quad \operatorname {tang} \varpi \cos \psi ={\frac {xdz-zdx}{xdy-ydx}}.$

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