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stantes inconnues $r,{\frac {dr}{dt}},{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}\,;$ ainsi les équations précédentes peuvent servir à déterminer ces trois inconnues et à résoudre par conséquent le Problème. Examinons successivement ces deux espèces de quantités.

15. Je remarque d’abord que si l’on fait le carré de la quantité $\delta$ (12), on peut le mettre sous cette forme

${\begin{aligned}\delta ^{2}=&\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)\left(\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}\right)\left(\alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}\right)\\&+2\left(\alpha \alpha '+\beta \beta '+\gamma \gamma '\right)\left(\alpha \alpha ''+\beta \beta ''+\gamma \gamma ''\right)\left(\alpha '\alpha ''+\beta '\beta ''+\gamma '\gamma ''\right)\\&-\left(\alpha ^{2}\,\ +\beta ^{2}\ +\gamma ^{2}\ \ \right)\left(\alpha '\alpha ''+\beta '\beta ''+\gamma '\gamma ''\right)^{2}\\&-\left(\alpha '^{2}\,+\beta '^{2}\,+\gamma '^{2}\ \right)\left(\alpha \ \alpha ''+\beta \,\ \beta ''+\gamma \ \gamma ''\right)^{2}\\&-\left(\alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}\right)\left(\alpha \ \ \alpha '+\beta \ \beta '\ +\gamma \ \gamma '\ \right)^{2}.\end{aligned}}$

Or on a(10)

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1,$

et par conséquent aussi (11)

$\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}=1,\quad \alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}=1.$

De plus, comme $\alpha \rho ,\beta \rho ,\gamma \rho$ sont les trois coordonnées de la Comète par rapport au centre de la Terre dans l’observation faite au bout du temps $t,$ et que de même $\alpha '\rho ',\beta '\rho ',\gamma '\rho '$ sont les trois coordonnées de la même Comète dans l’observation faite au bout du temps $t+\theta '$ (numéros cités), il s’ensuit que la distance rectiligne de ces deux lieux de la Comète sera exprimée par la racine carrée de la quantité

$(\alpha \rho -\alpha '\rho ')^{2}+(\beta \rho -\beta '\rho ')^{2}+(\gamma \rho -\gamma '\rho ')^{2}$

$=\rho ^{2}-2\rho \rho '\left(\alpha \alpha '+\beta \beta '+\gamma \gamma '\right)+\rho '^{2}.$

Mais, en considérant le triangle rectiligne dont la base est cette distance et dont les côtés sont les droites $\rho ,\rho '$ menées du centre de la Terre aux deux lieux de la Comète, si l’on nomme $\omega$ l’angle compris entre ces deux côtés, on aura par le Théorème connu

$\rho ^{2}-2\rho \rho '\cos \omega +\rho '^{2}$

pour le carré de la base. De sorte qu’en comparant cette expression à la