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13. Je remarque maintenant que, si l’on ajoute ensemble les carrés des trois équations de chaque système, on peut également faire disparaître les quantités $x,y,z,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}.$ Car si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}\Gamma \ \ =&\mathrm {A\,\ \alpha \ \ +B\,\ \ \beta \,\ +C} \ \ \gamma ,\\\Gamma '\ =&\mathrm {A'\,\alpha '\,+B'\,\beta '\ +C'} \ \gamma ',\\\Gamma ''=&\mathrm {A''\alpha ''+B''\beta ''+C''} \gamma '',\end{aligned}}$

et qu’on dénote par $h',h''$ les valeurs de $h$ qui répondent à $\theta =\theta ',\theta =\theta '',$ on aura, par ce qu’on a vu dans le n^o 6, trois équations de la forme suivante

${\begin{aligned}\rho ^{2}\ \,-2\Gamma \ \ \mathrm {R} \ \ \rho \,\ +\mathrm {R} ^{2}\ \ =&r^{2},\\\rho '^{2}\,-2\Gamma '\,\mathrm {R} '\ \rho '\,+\mathrm {R} '^{2}\ =&h'r^{2},\\\rho ''^{2}-2\Gamma ''\mathrm {R} ''\rho ''+\mathrm {R} ''^{2}=&h''r^{2}.\end{aligned}}$

14. Donc enfin, substituant dans ces équations les valeurs de $\rho ',\rho '',\rho '''$ trouvées ci-dessus, on aura les trois équations finales

${\begin{aligned}&\left(\Delta \mathrm {R} l-\Delta '\mathrm {R} 'g''+\Delta ''\mathrm {R} ''g'\right)^{2}-2\Gamma \mathrm {R} (\Delta \mathrm {R} l-\Delta '\mathrm {R} 'g''+\Delta ''\mathrm {R} ''g')\delta l\\&\qquad +\left(\mathrm {R} ^{2}-r^{2}\right)\delta ^{2}l^{2}=0,\\\\&\left(\Delta _{1}\mathrm {R} l-\Delta _{1}'\mathrm {R} 'g''+\Delta _{1}''\mathrm {R} ''g'\right)^{2}+2\Gamma '\mathrm {R} '(\Delta _{1}\mathrm {R} l-\Delta _{1}'\mathrm {R} 'g''+\Delta _{1}''\mathrm {R} ''g')\delta g''\\&\qquad +\left(\mathrm {R} '^{2}-h'r^{2}\right)\delta ^{2}g''^{2}=0,\\\\&\left(\Delta _{2}\mathrm {R} l-\Delta _{2}'\mathrm {R} 'g''+\Delta _{2}''\mathrm {R} ''g'\right)^{2}-2\Gamma ''\mathrm {R} ''(\Delta _{2}\mathrm {R} l-\Delta _{2}'\mathrm {R} 'g''+\Delta _{2}''\mathrm {R} ''g')\delta g'\\&\qquad +\left(\mathrm {R} ''^{2}-h''r^{2}\right)\delta ^{2}g'^{2}=0.\end{aligned}}$

Or, des différentes quantités qui composent ces trois équations, les unes, telles que

$\delta ,\ \Delta ,\ \Delta _{1},\ \Delta _{2},\ \Delta ',\ \Delta '_{1},\ \Delta '_{2},\ \Delta '',\ \Delta ''_{1},\ \Delta ''_{2},\ \Gamma ',\ \Gamma '',\ \Gamma ''',\ \mathrm {R',\ R'',\ R'''} ,\$

sont censées données et connues par les observations de la Comète et par la Théorie du Soleil. Les autres, savoir

$l,\ \ g',\ \ g'',\ \ h',\ \ h'',\ \$

sont des fonctions connues des quantités connues $\theta ',\theta ''$ et des trois con-