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et mettant pour ${\frac {dy}{dx}}$ sa valeur

$-{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{3}}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {1+x^{2}}}{\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}},$

il viendra

${\frac {d^{2}y}{dxd\alpha }}={\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{4}},$

ce qui n’est pas nul ; d’où il s’ensuit que l’équation dont il s’agit, savoir

$y=-{\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x^{4}}{16}},$

ne satisfait pas à la proposée du second ordre, comme on peut aisément s’en assurer. Cet Exemple peut servir de confirmation à la théorie donnée dans l’Article II,

Au reste, il est bon de remarquer que cette intégrale particulière

$y=-{\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x^{4}}{16}}$

peut aussi se déduire immédiatement de l’intégrale finie et complète

$y={\frac {ax^{2}}{2}}+bx+a^{2}+b^{2},$

en faisant en même temps

${\frac {dy}{da}}=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {dy}{db}}=0\,;$

ce qui donne les deux équations

${\frac {x^{2}}{2}}+2a=0,\quad x+2b=0,$

d’où l’on tire

$a=-{\frac {x^{2}}{4}},\quad b=-{\frac {x}{2}},$