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Articles I et II. Déduisons-la de l’intégrale complète au moyen de la condition ${\frac {dy}{d\alpha }}=0\,;$ la différentiation de la dernière équation donne

${\frac {dy}{d\alpha }}={\frac {\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}{8}}\,;$

ainsi l’on aura

${\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}=0\,;$

comme cette équation ne renferme point la quantité $\alpha ,$ il faut la combiner avec l’intégrale complète en éliminant l’une des variables $x$ ou $y,$ pour voir si la valeur résultante de $\alpha$ est constante ou variable (4) ; or l’équation que nous venons de trouver donne

$y=-{\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x^{4}}{16}}\,;$

et cette valeur étant substituée dans l’intégrale complète (numéro précédent), on a

$x{\sqrt {1+x^{2}}}-\log \left({\sqrt {1+x^{2}}}-x\right)+\alpha =0\,;$

d’où l’on voit que $\alpha$ est déterminée par une fonction de $x\,;$ par conséquent l’équation dont il s’agit est une intégrale particulière.

Mais cette intégrale particulière, quoiqu’elle satisfasse à l’intégrale particulière aux premières différences de l’équation proposée, il ne s’ensuit pas qu’elle doive aussi satisfaire à cette dernière équation ; au contraire, elle n’y satisfera pas à moins que l’on n’ait en même temps

${\frac {dy}{d\alpha }}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxd\alpha }}=0,$

à cause qu’il s’agit d’une équation différentielle du second ordre (11) ; or ayant

${\frac {dy}{d\alpha }}={\frac {\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}{8}},$

on aura

${\frac {d^{2}y}{dxd\alpha }}={\frac {8{\cfrac {dy}{dx}}+4x+2x^{3}}{8{\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}}},$