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De sorte que, substituant ces valeurs dans les expressions dont il s’agit, on aura

$\rho ={\frac {{\cfrac {\mathrm {N} }{6}}\left({\cfrac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\cfrac {1}{r^{3}}}\right)}{\delta \left[\theta ''-\theta '-{\cfrac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6r^{3}}}\right]}},\quad \rho '=-{\frac {{\cfrac {\mathrm {N} _{1}}{6}}\left({\cfrac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\cfrac {1}{r^{3}}}\right)}{\delta \left(\theta ''-{\cfrac {\theta ''^{3}}{6r^{3}}}\right)}},$

$\rho ''=-{\frac {{\cfrac {\mathrm {N} _{2}}{6}}\left({\cfrac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\cfrac {1}{r^{3}}}\right)}{\delta \left(\theta '-{\cfrac {\theta '^{3}}{6r^{3}}}\right)}}.$

La valeur de $\rho$ étant maintenant substituée dans l’équation

$\rho ^{2}s-2\Gamma \mathrm {R} \rho +\mathrm {R} ^{2}=r^{2},$

on aura celle-ci

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {N} ^{2}}{36}}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)^{2}-{\frac {\Gamma \mathrm {RN} }{3}}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)\left[\theta ''-\theta '-{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6r^{3}}}\right]\ \,&\delta \\+\left(\mathrm {R} ^{2}-r^{2}\right)\left[\theta ''-\theta '-{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6r^{3}}}\right]^{2}&\delta ^{2}=0,\end{aligned}}$

laquelle, étant multipliée par $\mathrm {R} ^{6}r^{6},$ devient

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {N} ^{2}}{36}}\left(r^{3}-\mathrm {R} ^{3}\right)^{2}-{\frac {\Gamma \mathrm {NR} ^{4}}{3}}\left(r^{3}-\mathrm {R} ^{3}\right)\left[(\theta ''-\theta ')r^{3}-{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6}}\right]\ \,&\delta \\+\mathrm {R} ^{6}\left(\mathrm {R} ^{2}-r^{2}\right)\left[(\theta ''-\theta ')r^{3}-{\frac {(\theta ''-\theta ')^{3}}{6}}\right]^{2}&\delta ^{2}=0,\end{aligned}}$

équation qu’on voit bien être divisible par $\mathrm {R} -r,$ et qui après cette division ne montera plus qu’au septième degré et aura par conséquent toujours au moins une racine réelle.

26. En général, il suit du raisonnement du numéro précédent que si dans les expressions de $\rho ,\rho ',\rho ''$ du n^o 12 on change $r$ en $\mathrm {R} ,$ et de même $dr$ en $d\mathrm {R}$ et $d(rdr)$ en $d(\mathrm {R} d\mathrm {R} ),$ ces expressions doivent devenir nulles d’elles-mêmes. De sorte que, si l’on dénote par $\mathrm {L,G',G''}$ ce que deviennent alors les quantités $l,g',g'',$ on aura nécessairement ces trois équations

${\begin{aligned}\Delta \ \ \mathrm {RL-\Delta '\,R'G''+\Delta ''R''G'} =&0,\\\Delta _{1}\mathrm {RL-\Delta '_{1}R'G''+\Delta ''_{1}R''G'} =&0,\\\Delta _{2}\mathrm {RL-\Delta '_{2}R'G''+\Delta ''_{2}R''G'} =&0.\end{aligned}}$