Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/525

Si donc on fait ces substitutions dans les expressions de $\rho ,\rho ',\rho ''$ du numéro cité et qu’on suppose, pour abréger,

$m=l-\mathrm {F} 'g''+\mathrm {F} ''g',\quad n=\mathrm {G} ''g'-\mathrm {G} 'g'',$

on aura, en mettant $\mathrm {P}$ à la place de ${\frac {1}{\mathrm {R} }}{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},$

${\begin{aligned}\rho \ \ =&\mathrm {R} {\frac {(m+n\mathrm {P} )\Delta +n{\cfrac {d\Delta }{dt}}}{l\delta }},\\\rho '\ =&-\mathrm {R} {\frac {(m+n\mathrm {P} )\Delta _{1}+n{\cfrac {d\Delta _{1}}{dt}}}{g''\delta }},\\\rho ''=&\mathrm {R} {\frac {(m+n\mathrm {P} )\Delta _{2}+n{\cfrac {d\Delta _{2}}{dt}}}{g'\delta }}.\end{aligned}}$

De plus, en faisant

$\Gamma _{1}=\mathrm {A\alpha '+B\beta '+C} \gamma ',\quad \Gamma _{2}=\mathrm {A\alpha ''+B\beta ''+C} \gamma '',$

et supposant aussi que les différentielles de $\Gamma ,\Gamma _{1},\Gamma _{2}$ ne regardent que la variabilité de $\mathrm {A,B,C} ,$ on aura d’après les formules du n^o 13

$\Gamma '\mathrm {R} '=\mathrm {R} \left[\mathrm {\left(F'+G'P\right)} \Gamma _{1}+\mathrm {G} '{\frac {d\Gamma _{1}}{dt}}\right],\ \ \Gamma ''\mathrm {R} ''=\mathrm {R} \left[\mathrm {\left(F''+G''P\right)} \Gamma _{2}+\mathrm {G} ''{\frac {d\Gamma _{2}}{dt}}\right]\,;$

ces valeurs étant substituées dans les trois équations du n^o 28, on aura, pour équations finales, celles-ci

${\begin{aligned}&\left[(m+n\mathrm {P} )\Delta +n{\frac {d\Delta }{dt}}\right]^{2}-2\Gamma \left[(m+n\mathrm {P} )\Delta +n{\frac {d\Delta }{dt}}\right]l\delta +\left(1-{\frac {r^{2}}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)l^{2}\delta ^{2}=0,\\\\&\left[(m+n\mathrm {P} )\Delta _{1}+n{\frac {d\Delta _{1}}{dt}}\right]^{2}\\&\qquad \qquad +2\left[\mathrm {\left(F'+G'P\right)} \Gamma _{1}+\mathrm {G} '{\frac {d\Gamma _{1}}{dt}}\right]\left[(m+n\mathrm {P} )\Delta _{1}+n{\frac {d\Delta _{1}}{dt}}\right]g''\delta \\&\qquad \qquad +\left(\mathrm {H} '-h'{\frac {r^{2}}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)^{2}g''^{2}\delta ^{2}=0,\\\\&\left[(m+n\mathrm {P} )\Delta _{2}+n{\frac {d\Delta _{2}}{dt}}\right]^{2}\\&\qquad \qquad -2\left[\mathrm {\left(F''+G''P\right)} \Gamma _{2}+\mathrm {G} ''{\frac {d\Gamma _{2}}{dt}}\right]\left[(m+n\mathrm {P} )\Delta _{2}+n{\frac {d\Delta _{2}}{dt}}\right]g'\delta \\&\qquad \qquad +\left(\mathrm {H} ''-h''{\frac {r^{2}}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)^{2}g'^{2}\delta ^{2}=0.\end{aligned}}$