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31. Pour faire usage de ces équations, on calculera d’abord les quantités $\Delta ,\Delta _{1},\Delta _{2}$ par les formules du n^o 18, et pour avoir les différentielles de ces quantités, il n’y aura qu’à faire varier le lieu du Soleil, lequel est déterminé par les quantités $\mathrm {A,B,C} .$

Soit donc $\mathrm {S} s$ le petit arc de l’écliptique que le Soleil parcourt pendant le temps $dt\,;$ il est facile de prouver que la variation de l’arc $\mathrm {CS}$ sera

$-\mathrm {S} s\cos \mathrm {CS} s,$

$\mathrm {CS} s$ étant l’angle que l’arc $\mathrm {C} s$ fait avec l’écliptique ; par la même raison les variations des arcs $\mathrm {C'S,C''S}$ seront

$-\mathrm {S} s\cos \mathrm {C'S} s,\quad -\mathrm {S} s\cos \mathrm {C''S} s.$

Mais on a par la Théorie

$dt=\mathrm {R} ^{2}\times \mathrm {S} s,$

à cause que $t$ est le mouvement moyen du Soleil et que la distance moyenne est prise pour l’unité (I) ; donc on aura

$\mathrm {S} s={\frac {dt}{\mathrm {R} ^{2}}}.$

Si donc on emploie pour la valeur de $\Delta$ la première expression de $\mathrm {(SC'C'')} ,$ savoir (18)

$\mathrm {\sqrt {1+2\cos SC'\cos SC''\cos C'C''-\cos ^{2}SC'-\cos ^{2}SC''-\cos ^{2}C'C''}} ,$

et qu’on différentie en faisant varier en même temps les arcs $\mathrm {SC',SC''} ,$ on aura

${\begin{aligned}\Delta {\frac {d\Delta }{dt}}=&{\frac {\mathrm {\left(\cos SC''\cos C'C''-\cos SC'\right)} \sin \mathrm {SC} '\cos \mathrm {C'S} s}{\mathrm {R} ^{2}}}\\+&{\frac {\mathrm {\left(\cos SC'\cos C'C''-\cos SC''\right)} \sin \mathrm {SC} ''\cos \mathrm {C''S} s}{\mathrm {R} ^{2}}}\,;\end{aligned}}$

mais en considérant te triangle $\mathrm {SC'C''} ,$ on a par les formules connues

$\mathrm {\cos SC'=\cos SC''\cos C'C''+\sin SC''\sin C'C''\cos SC''C'} ,$

et de même

$\mathrm {\cos SC''=\cos SC'\cos C'C''+\sin SC'\sin C'C''\cos SC'C''} \,;$