Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/542

2^o On aura de même

${\begin{aligned}x\ \ \,&=x,\\x'\ \,&=0,\\x''\ &=-x,\\x'''&=-m''x,\\x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\left(1-m''m'''\right)x,\\x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=\left(m''+m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-m''m'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)x,\\x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}&=\left(-1+m''m'''+m''m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-m''m'''m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)x,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et pour avoir la valeur complète d’un $x$ quelconque, il n’y aura qu’à ajouter ensemble les valeurs de la même quantité dans les deux cas.

7. Si dans les expressions précédentes on remet pour $m',m'',m''',\ldots$ leurs valeurs (5), qu’on ordonne ensuite les termes par rapport aux quantités $f',f'',f''',\ldots ,$ et qu’on fasse, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} \ \ \ \,&=0,\\\mathrm {P} '\ \ \,&=1,\\\mathrm {P} ''\ \,&={\frac {1}{f'}},\\\mathrm {P} '''\ &=-1+{\frac {h'}{f'}},\\\mathrm {P} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,&=-{\frac {1}{f'}}-{\frac {1}{f''}}+{\frac {h'}{f'f''}},\\\mathrm {P} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \,&=1-{\frac {h'+h''}{f'}}-{\frac {h''}{f''}}+{\frac {h'h''}{f'f''}},\\\mathrm {P} ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\,&={\frac {1}{f'}}+{\frac {1}{f''}}+{\frac {1}{f'''}}-{\frac {h'}{f'f''}}-{\frac {h'+h''}{f'f'''}}-{\frac {h''}{f''f'''}}+{\frac {h'h''}{f'f''f'''}},\\\mathrm {P} ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}&=-1+{\frac {h'+h''+h'''}{f'}}+{\frac {h''+h'''}{f''}}+{\frac {h'''}{f'''}}-{\frac {h'(h''+h''')}{f'f''}}\\&-{\frac {(h'+h'')h'''}{f'f'''}}-{\frac {h''h'''}{f''f'''}}+{\frac {h'h''h'''}{f'f''f'''}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$