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première lentille, de la seconde, de la troisième, etc. ; il est aisé de concevoir, dis-je, qu’on aura

$\theta '=a'\operatorname {tang} \varphi ',\quad \theta ''=a''\operatorname {tang} \varphi '',\quad \theta '''=a'''\operatorname {tang} \varphi ''',\ldots \,;$

et comme le second foyer conjugué de la première lentille coïncide avec le premier foyer conjugué de la seconde lentille, et ainsi de suite, et que le rayon, en coupant l’axe dans ces foyers conjugués communs, fait avec lui des angles égaux de part et d’autre, il s’ensuit qu’on aura aussi

$\theta '=b'\operatorname {tang} \varphi '',\quad \theta ''=b''\operatorname {tang} \varphi ''',\ldots .$

Donc on aura

$a'={\frac {\theta '}{\operatorname {tang} \varphi '}},\ \ b'={\frac {\theta '}{\operatorname {tang} \varphi ''}},\ \ a''={\frac {\theta ''}{\operatorname {tang} \varphi ''}},\ \ b''={\frac {\theta ''}{\operatorname {tang} \varphi '''}},$

$a'''={\frac {\theta '''}{\operatorname {tang} \varphi '''}},\ldots .$

Si l’on compare ces expressions avec celles du n^o 5, on verra que les quantités $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots$ sont proportionnelles aux quantités $x',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ldots ,$ et que les quantités $\operatorname {tang} \varphi ',\operatorname {tang} \varphi '',\operatorname {tang} \varphi ''',\ldots$ sont en même temps proportionnelles aux quantités $x,x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots \,;$ et comme les équations (E), qui doivent avoir lieu entre ces dernières quantités, ne déterminent pas leurs valeurs absolües, mais seulement leurs proportions mutuelles, il s’ensuit qu’on peut supposer

$x=\operatorname {tang} \varphi ',$

et alors on aura

${\begin{alignedat}{2}x'\ \,&=\theta ',&x''\,&=\operatorname {tang} \varphi '',\\x'''&=\theta '',&x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\operatorname {tang} \varphi ''',\\x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ &=\theta ''',\qquad &x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}&=\operatorname {tang} \varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\\ldots &\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

10. Ainsi les quantités $x,x',x'',\ldots ,$ dont les valeurs ont été déterminées ci-dessus, ne servent pas seulement à déterminer les distances des foyers $a',a'',a''',\ldots ,b',b'',b''',\ldots ,$ mais elles représentent elles-mêmes les tangentes des angles aux foyers et les demi-diamètres des ouvertures ; les quantités $x,x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$ qui occupent les places paires, sont les tan-