Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/548

cupent les places paires et celles qui occupent les places impaires dans la série $x,x',x'',x''',\ldots .$

13. Soit

$x''=\alpha 'x,\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\alpha ''x'',\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=\alpha '''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$

et par conséquent

$x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\alpha '\alpha ''x,\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=\alpha '\alpha ''\alpha '''x,\ldots \,;$

substituantces valeurs dans la première suite d’équations, on aura celles-ci

$-x'+(1+\alpha ')f'x=0,$

${\begin{aligned}&f'\ \ +(f'\ \,+f''\,-h'\ \ )\alpha '\ +f''\ \alpha '\ \ \alpha ''\,=0,\\&f''\ +(f''\ +f'''-h''\ )\alpha ''\,+f'''\alpha ''\ \alpha '''=0,\\&f'''+(f'''+f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,-h''')\alpha '''+f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\alpha '''\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$x'=(1+\alpha ')f'x,$

ensuite

${\begin{aligned}h'\ \ &={\frac {\alpha '+1}{\alpha '}}\ \ f'\ \ +(\alpha ''+1)f'',\\h''\ &={\frac {\alpha ''+1}{\alpha ''}}\ f''\ +(\alpha '''+1)f''',\\h'''&={\frac {\alpha '''+1}{\alpha '''}}f'''+\left(\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,+1\right)f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, à cause de $a'={\frac {x'}{x}}$ (5), si l’on change $a'$ en $h,$ comme dans le n^o 8, la première équation deviendra

$h=(\alpha '+1)f'.$

Ensuite, si l’on fait

$x'=f'\varpi ',\quad x'''=f''\varpi '',\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=f'''\varpi ''',\ldots ,$