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laquelle donnerait encore le même résultat en éliminant $b$ au moyen de l’équation $\mathrm {Z} =0.$

33. Il s’ensuit de là que si l’on ne connait pas l’intégrale finie et complète $\mathrm {V} =0$ de l’équation différentio-différentielle $\mathrm {Z} '=0,$ mais seulement une des deux intégrales aux premières différences de cette équation, telle que $\mathrm {Z} =0,$ $\mathrm {Z}$ étant une fonction de $x,y,{\frac {dy}{dx}}$ et d’une constante arbitraire $a,$ on pourra également trouver l’intégrale particulière de la même équation $\mathrm {Z} '=0\,;$ pour cela il n’y aura qu’à faire varier dans l’équation $\mathrm {Z} =0$ les deux quantités ${\frac {dy}{dx}}$ et $a,$ et à supposer ensuite

${\frac {d^{2}y}{dxda}}=0\,;$

cette équation, étant combinée avec l’équation $\mathrm {Z} =0,$ en éliminant la quantité $a,$ donnera l’intégrale cherchée.

Cette règle peut aussi se démontrer directement, et indépendamment de la considération de l’intégrale finie et complète $\mathrm {V} =0.$ En effet, puisque l’équation du premier ordre $\mathrm {Z} =0$ satisfait à l’équation du second ordre $\mathrm {Z} '=0,$ quelle que soit la valeur de la constante $a$ contenue danse, il s’ensuit que cette équation $\mathrm {Z} '=0$ ne peut être que le résultat de l’élimination de $a$ au moyen de l’équation $\mathrm {Z} =0$ et de l’équation $d{\frac {dy}{dx}}=p'dx$ déduite de celle-là au moyen d’une différentiation. Or il est clair que ce résultat sera toujours le même, quelle que soit la quantité à éliminer $a,$ constante ou non, pourvu que les deux équations

$\mathrm {Z} =0,\quad d{\frac {dy}{dx}}=p'dx$

soient les mêmes ; mais en regardant $a$ comme variable, on a

$d{\frac {dy}{dx}}=p'dx+q'da\,;$