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tilles $h',h'',\ldots$ sont exprimés par les quantités $\alpha ',\alpha '',\alpha ''',\ldots ,\varpi ',\varpi '',$$\varpi ''',\ldots ,$ et comme on a supposé

$x'=f'\varpi ',\quad x''=\alpha 'x,\quad x'''=f''\varpi '',\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\alpha '\alpha ''x,\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=f'''\varpi ''',$

$x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=\alpha '\alpha ''\alpha '''x,\ldots ,$

on aura aussi les quantités $x',x'',x''',\ldots$ exprimées par les mêmes quantités $\alpha ',\alpha '',\ldots ,\varpi ',\varpi '',\ldots .$

14. Les quantités $\varpi ',\varpi '',\ldots$ sont égales aux demi-diamètres des ouvertures des lentilles divisés par les distances focales des mêmes lentilles ce sont par conséquent les mêmes quantités que M. Euler nomme raisons des ouvertures, et qui dans ses formules sont désignées aussi par ces mêmes lettres.

À l’égard des quantités $\alpha ',\alpha '',\ldots ,$ elles sont égales à ${\frac {x''}{x}},{\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{x''}},\ldots ,$ et par conséquent à ${\frac {a'}{b'}},{\frac {a''}{b''}},\ldots$ (5) ; or M. Euler désigne par les lettres majuscules $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ les quantités ${\frac {b'}{a'}},{\frac {b''}{a''}},\ldots \,;$ ainsi l’on aura

$\alpha '={\frac {1}{\mathrm {A} }},\quad \alpha ''={\frac {1}{\mathrm {B} }},\quad \alpha '''={\frac {1}{\mathrm {C} }},\ldots .$

Enfin M. Euler suppose que l’ouverture de la première lentille est nulle, pour ne considérer que la route du rayon qui passe par le centre de cette lentille ; ainsi, suivant lui, $\varpi '$ doit être nul.

Si l’on fait ces différentes substitutions dans les formules trouvées ci-dessus, on en verra naître celles de M. Euler, dont on a parlé au commencement de ce Mémoire.

15. Après avoir fait voir comment le Théorème de Cotes et les formules de M. Euler se déduisent directement de nos formules primitives, nous allons revenir sur celles-ci et les considérer plus particulièrement.

Et d’abord, puisque nous avons déjà vu que les équations récurrentes (E) donnent, en général (7),

$x^{(\mu )}=\mathrm {P} ^{(\mu )}x'+\mathrm {Q} ^{(\mu )}x,$