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il est bon d’examiner de plus près la loi qu’observent les quantités $\mathrm {P',P''} ,$$\mathrm {P''',\ldots ,Q',Q'',Q''',\ldots } .$

Par la formation de ces quantités il est visible qu’il y a entre elles les mêmes rapports qu’entre les quantités correspondantes $x,x',x'',\ldots ,$ de sorte qu’on aura aussi, en général, en vertu des équations (E),

${\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(\lambda +1)}-m^{(\lambda )}\mathrm {P} ^{(\lambda )}+\,\mathrm {P} ^{(\lambda -1)}=&0,\\\mathrm {Q} ^{(\lambda +1)}-m^{(\lambda )}\mathrm {Q} ^{(\lambda )}+\mathrm {Q} ^{(\lambda -1)}=&0\,;\end{aligned}}$

donc, on aura

$\mathrm {P^{(\lambda +1)}Q^{(\lambda )}-Q^{(\lambda +1)}P^{(\lambda )}=Q^{(\lambda )}P^{(\lambda -1)}-P^{(\lambda )}Q^{(\lambda -1)}} \,;$

mais, lorsque $\lambda =1,$ on a

$\mathrm {P'Q-Q'P} =1\,;$

donc

$\mathrm {P''Q'-Q''P'=-1,\quad P'''Q''-Q'''P''} =1,\ldots \,;$

donc, en général,

$\mathrm {P^{(\lambda +1)}Q^{(\lambda )}-Q^{(\lambda +1)}P^{(\lambda )}} =\pm 1,$

le signe supérieur étant pour le cas où $\lambda$ est pair, et l’inférieur pour celui où $\lambda$ est impair.

16. Or on voit par les formules du n^o 7 que les expressions des quantités $\mathrm {Q,Q',Q''} ,\ldots$ ne contiennent point la quantité $f'\,;$ donc, si dans l’équation précédente on fait varier $f',$ les quantités $\mathrm {Q} ^{(\lambda )}$ et $\mathrm {Q} ^{(\lambda +1)}$ doivent demeurer constantes ; et l’on aura en divisant par $df'$

$\mathrm {Q} ^{(\lambda )}{\frac {d\mathrm {P} ^{(\lambda +1)}}{df'}}-\mathrm {Q} ^{(\lambda +1)}{\frac {d\mathrm {P} ^{(\lambda )}}{df'}}=0\,;$

d’où il s’ensuit que les quantités $\mathrm {Q} ^{(\lambda )}$ sont proportionnelles aux quantités ${\frac {d\mathrm {P} ^{(\lambda )}}{df'}}\,;$ de sorte qu’on aura, en général,

$\mathrm {Q} ^{(\lambda )}=k{\frac {d\mathrm {P} ^{(\lambda )}}{df'}},$

$k$ étant un coefficient constant. Pour le déterminer, on fera, par exemple,