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dont la seconde donne par les Théorèmes connus

${\frac {us+{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}}{e^{2}}}=xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\,;$

et ces deux équations serviront à déterminer $x$ et $y$ en $s$ et $u.$

6. Faisons, pour abréger,

${\begin{aligned}&{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}=m,\\&{\frac {us+{\sqrt {e^{2}-u^{2}}}{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}}{e^{2}}}=n,\end{aligned}}$

et les équations dont il s’agit deviendront

(1)

${\sqrt {1-x^{2}}}-{\sqrt {1-y^{2}}}=m,$

(2)

$xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}=n.$

Or l’équation (1) étant carrée et ensuite ajoutée à l’équation (2) multipliée par $2,$ on aura

$2-x^{2}-y^{2}+2xy=m^{2}+2n\,;$

d’où l’on tire sur-le-champ

$x-y={\sqrt {2-2n-m^{2}}}.$

Ensuite l’équation (1) étant multipliée par ${\sqrt {1-x^{2}}}+{\sqrt {1-y^{2}}}$ et divisée par $m$ donne

${\sqrt {1-x^{2}}}+{\sqrt {1-y^{2}}}={\frac {y^{2}-x^{2}}{m}}\,;$

cette équation étant carrée et ensuite retranchée de l’équation (2) multipliée par $2,$ on a

$2xy-2+x^{2}+y^{2}=2n-{\frac {\left(y^{2}-x^{2}\right)^{2}}{m^{2}}},$

savoir

$(x+y)^{2}=2+2n-{\frac {(x+y)^{2}(x-y)^{2}}{m^{2}}},$