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et, substituant pour $(x-y)^{2}$ sa valeur ci-dessus,

$(x+y)^{2}=2+2n-(x+y)^{2}{\frac {2-2n-m^{2}}{m^{2}}},$

d’où l’on tire immédiatement

$x+y=m{\sqrt {\frac {1+n}{1-n}}}.$

Ainsi, connaissant la somme et la différence de $x$ et $y,$ on aura chacune de ces deux quantités.

Donc le temps employé à parcourir l’arc compris entre les rayons vecteurs $a(1-u),a(1-s),$ dans une ellipse dont le demi-grand axe serait $a$ et l’excentricité $e,$ sera égal au temps employé à parcourir l’arc compris entre les rayons vecteurs $a(1-x),a(1-y),$ dans une autre ellipse qui aurait le même grand axe et où l’excentricité serait $1,$ c’est-à-dire égale au temps employé à parcourir dans le grand axe même la différence de ces rayons.

7. Il reste encore à prouver qu’en nommant $aq$ la corde qui joint les deux rayons vecteurs $a(1-u)$ et $a(1-s),$ on aura

$a(1-x)={\frac {a(1-u)+a(1-s)-aq}{2}},\ \ a(1-y)={\frac {a(1-u)+a(1-s)+aq}{2}},$

savoir

$x={\frac {u+s+q}{2}},\quad y={\frac {u+s-q}{2}}.$

Pour cela je remarque d’abord que l’on a entre ${\frac {u}{e}},{\frac {s}{e}},{\frac {m}{e}},$ $n$ les mêmes équations qu’entre $x,y,m,n,$ ce qui est visible par les premières formules du numéro précédent ; donc, en changeant ces dernières quantités en celles-là dans les formules finales du même numéro, on aura aussi

${\frac {u-s}{e}}={\sqrt {2-2n-{\frac {m^{2}}{e^{2}}}}},\quad {\frac {u+s}{e}}={\frac {m}{e}}{\sqrt {\frac {1+n}{1-n}}},$

savoir

$u-s={\sqrt {(2-2n)e^{2}-m^{2}}},\quad u+s=m{\sqrt {\frac {1+n}{1-n}}}\,;$