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et par conséquent

$q=x-y.$

Ayant donc

$x+y=u+s,\quad x-y=q,$

on aura

$x={\frac {u+s+q}{2}},\quad y={\frac {u+s-q}{2}}.$

Cette démonstration du Théorème dont il s’agit a, ce me semble, toute la simplicité qu’on y peut désirer.

8. De là résulte donc ce Théorème analytique assez remarquable,

${\frac {rdr}{\sqrt {-p+2r-{\cfrac {r^{2}}{a}}}}}-{\frac {\rho d\rho }{\sqrt {-p+2\rho -{\cfrac {\rho ^{2}}{a}}}}}={\frac {zdz}{\sqrt {2z-{\cfrac {z^{2}}{a}}}}}-{\frac {\zeta d\zeta }{\sqrt {2\zeta -{\cfrac {\zeta ^{2}}{a}}}}},$

en supposant

$r=a(1-u),\quad \rho =a(1-s),\quad z=a(1-x),\quad \zeta =a(1-y),$

$x={\frac {u+s+q}{2}},\quad y={\frac {u+s-q}{2}}$

et

$q={\frac {1}{e}}{\sqrt {(u-s)^{2}+\left(1-e^{2}\right)\left({\sqrt {e^{2}-u^{2}}}-{\sqrt {e^{2}-s^{2}}}\right)^{2}}},$

ce qui donne

$u=1-{\frac {r}{a}},\quad s=1-{\frac {\rho }{a}},\quad x=1-{\frac {r+\rho +aq}{2a}},\quad y=1-{\frac {r+\rho -aq}{2a}}\,;$

donc

$z={\frac {r+\rho +aq}{2}},\quad \zeta ={\frac {r+\rho -aq}{2}}$

et

$aq={\frac {1}{e}}{\sqrt {(r-\rho )^{2}+p\left({\sqrt {-p+2r-{\frac {r^{2}}{a}}}}-{\sqrt {-p+2\rho -{\frac {\rho ^{2}}{a}}}}\right)^{2}}}.$

9. Voyons maintenant comment on peut généraliser ce Théorème, et,