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35. La méthode du n^o 33 pour trouver l’intégrale particulière d’une équation différentio-différelltielle lorsqu’on connaît seulement une de ses intégrales complètes aux premières différences est, comme l’on voit, absolument analogue à celle du n^o 4 pour trouver l’intégrale particulière d’une équation différentielle du premierordre au moyen de son intégrale finie et complète ; l’une et l’autre sont fondées sur les mêmes principes, et doivent par conséquent donner lieu à des conséquences semblables. Ainsi tout ce qu’on a dit dans l’Article II relativement à l’étendue des intégrales particulières des équations différentielles du premier ordre, pourra s’appliquer aussi aux intégrales particulières des équations différentio-différentielles.

Donc, si l’équation différentio-différentielle $\mathrm {Z} '=0$ est elle-même l’intégrale d’une équation différentielle du troisième ordre $\mathrm {Z} ''=0,$ l’intégrale particulière de l’équation $\mathrm {Z} '=0,$ déduite de la condition ${\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,$ ne satisfera pas à l’équation $\mathrm {Z} ''=0,$ à moins que l’on n’ait en même temps ${\frac {d^{2}y}{dxda}}=0$ et ${\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}=0\,;$ et ainsi de suite.

Si l’on a

${\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,\quad {\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}=0,\ldots$ à l’infini

on prouvera, comme dans le n^o 13, que la condition ${\frac {d^{2}y}{dxda}}=0$ ne donnera plus une intégrale particulière ; et de là, par un raisonnement semblable à celui du n^o 14, on déduira une règle pour trouver immédiatement l’intégrale particulière d’une équation différentio-différentielle $\mathrm {Z} '=0$ sans connaître aucune de ses intégrales complètes.

Cette règle consiste à supposer égale à ${\frac {0}{0}}$ la valeur de ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}$ tirée de l’équation proposée $\mathrm {Z} '=0$ au moyen de la différentiation ; on aura ainsi deux équations en $x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$ d’où éliminant ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ à l’aide de la même équation $\mathrm {Z} '=0,$ on aura deux équations en $x,y,{\frac {dy}{dx}}$ qui devront s’accorder entre elles et se réduire à une même équation, si la proposée est sus-