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ceptible d’une intégrale particulière ; et alors cette équation sera l’intégrale particulière cherchée.

36. Si l’équation différentio-différentielle $\mathrm {Z} '=0$ était telle, que l’on eût

$d\mathrm {Z} '=\mathrm {A} 'd{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$

alors la condition de ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}={\frac {0}{0}}$ donnerait cette équation unique $\mathrm {A} '=0\,;$ par conséquent, en chassant la quantité ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ au moyen des deux équations

$\mathrm {A} '=0,\quad \mathrm {Z} '=0,$

la résultante sera toujours une intégrale particulière de la proposée $\mathrm {Z} '=0.$

Or dans ce cas on peut aussi trouver aisément l’intégrale finie et complète de la même équation. En effet, puisque $\mathrm {Z} '=0,$ on aura aussi, en différentiant,

$d\mathrm {Z} '=\mathrm {A} 'd{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0\,;$

donc ou $\mathrm {A} '=0,$ ce qui, comme nous venons de le voir, donne l’intégrale particulière, ou $d{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0,$ et par conséquent

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=a,\quad {\frac {dy}{dx}}=ax+b,\quad y={\frac {ax^{2}}{2}}+bx+c,$

$a,b,c$ étant trois constantes arbitraires ; or comme l’équation $\mathrm {Z} '=0$ n’est (hypothèse) que du second ordre, il s’ensuit que son intégrale finie et complète ne peut renfermer que deux constantes arbitraires ; ainsi, si l’on y substitue les valeurs précédentes de $y,{\frac {dy}{dx}}$ et ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$ il viendra nécessairement une équation entre les constantes $a,b,c,$ sans $x$ ni $y,$ par laquelle il faudra déterminer l’une de ces constantes par les deux autres, qui resteront par conséquent arbitraires.

De là on peut déduire la forme générale de ces sortes d’équations ; car