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Dans ce cas le radical ${\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}$ devient

${\frac {\mathrm {C} \beta }{2e}}{\sqrt {-p^{2}+2pr-\left(1-e^{2}\right)r^{2}}},$

ou, nommant le demi-grand axe $\varpi ,$ et mettant ${\frac {p}{\varpi }}$ à la place de $1-e^{2},$

${\frac {\mathrm {C} \beta {\sqrt {p}}}{2e}}{\sqrt {-p+2r-{\frac {r^{2}}{\varpi }}}}\,;$

de sorte que la différentielle

${\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}$

deviendra

${\frac {2e}{\mathrm {C} \beta {\sqrt {p}}}}{\frac {rdr}{\sqrt {-p+2r-{\frac {r^{2}}{\varpi }}}}},$

c’est-à-dire proportionnelle à l’élément du temps dans la même ellipse (4).

Donc on peut représenter ce temps par la différence de deux expressions de la forme

$\int {\frac {(z^{2}+h)dz}{\sqrt {a+bz+cz^{2}+2z^{3}-{\cfrac {z^{4}}{\varpi }}}}},$

les quantités $a,b,c,h$ étant des constantes arbitraires, et la variable $z$ étant dans l’une des deux expressions la somme, et dans l’autre la différence de deux rayons vecteurs de l’ellipse, dont l’un parte à l’ordinaire du foyer, et dont l’autre parte d’un autre point fixe quelconque dépendant des constantes $a,b,c.$

14. Si l’on suppose que le centre des rayons $u$ tombe sur la circonférence même de l’ellipse, alors on aura $\gamma =0$ et entre $\alpha ,\beta$ la même équation qu’entre $\xi$ et $\eta \,;$ ainsi il faudra substituer ${\frac {p-\delta }{e}}$ à la place de $\alpha ,$ et ${\sqrt {\delta ^{2}-\left({\frac {p-\delta }{e}}\right)^{2}}}$ à la place de $\beta$ dans les formules du n^o 13 ; mais comme