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ces substitutions mènent à des formules un peu compliquées, voici une manière plus simple et plus directe d’analyser le cas dont il s’agit.

Je remarquequ’en faisant $r=\delta$ ($\delta$ étant $={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}$ par le n^o 13, et par conséquent égale à la distance du centre des rayons $u$ au foyer des rayons $r$) on doit avoir $u=0,$ et par conséquent $x=y$ (11).

Je reprends maintenant les deux formules du n^o 9,

${\begin{aligned}\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)=&-{\sqrt {\mathrm {X} }},\\\mathrm {M} +2\mathrm {N} r-2(\mathrm {B} +\mathrm {C} y)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)=&{\sqrt {\mathrm {Y} }}\,;\end{aligned}}$

dans la première desquelles je donne le signe $-$ au radical ${\sqrt {\mathrm {X} }},$ conformément à ce que j’ai dit dans le même numéro. Soustrayant la première de la seconde, j’ai celle-ci

$2\mathrm {C} (y-x)(\mathrm {A} +\mathrm {B} r+\mathrm {C} s)={\sqrt {\mathrm {Y} }}+{\sqrt {\mathrm {X} }}\,;$

et il faudra qu’en faisant $r=\delta$ on ait $x=y\,;$ par conséquent, à cause de $r=x+y,$

$x={\frac {\delta }{2}},\quad y={\frac {\delta }{2}}$

sont deux valeurs de $x$ et de $y$ qui doivent satisfaire à l’équation précédente. Or par ces suppositions le premier membre devient nul, et le second devient $4\mathrm {C} {\sqrt {\Delta }}$ en supposant

$\Delta =a+b{\frac {\delta }{2}}+c\left({\frac {\delta }{2}}\right)^{2}+\mathrm {M} \left({\frac {\delta }{2}}\right)^{3}+\mathrm {N} \left({\frac {\delta }{2}}\right)^{4}\,;$

donc on doit avoir $\Delta =0\,;$ par conséquent ${\frac {\delta }{2}}$ doit être une racine des équations semblables $\mathrm {X=0,\ Y} =0.$ Mais cela ne suffit pas encore pour satisfaire à l’équation ci-dessus ; il faut encore qu’en supposant $x$ et $y$ très-peu différent de ${\frac {\delta }{2}},$ l’équation puisse subsister et donne une relation possible entre $x$ et $y\,;$ donc il faudra qu’en faisant

$x={\frac {\delta }{2}}+\mu ,\quad y={\frac {\delta }{2}}+\nu ,$