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et regardant $\mu$ et $\nu$ comme très-petites, on ait une équation possible entre $\mu$ et $\nu .$

Or, faisant ces substitutions et rejetant les termes du second ordre, on a, en supposant $\Delta '={\frac {d\Delta }{d{\cfrac {\delta }{2}}}},$

$-\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \delta +{\frac {\mathrm {C} \delta ^{2}}{4}}\right)(\nu -\mu )={\sqrt {\Delta +\Delta '\nu }}+{\sqrt {\Delta +\Delta '\mu }}\,;$

mais $\Delta =0,$ donc l’équation devient

$-\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \delta +{\frac {\mathrm {C} \delta ^{2}}{4}}\right)(\nu -\mu )={\sqrt {\Delta '}}\left({\sqrt {\nu }}+{\sqrt {\mu }}\right),$

laquelle, étant divisée par ${\sqrt {\nu }}+{\sqrt {\mu }},$ donne

$-\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \delta +{\frac {\mathrm {C} \delta ^{2}}{4}}\right)\left({\sqrt {\nu }}-{\sqrt {\mu }}\right)={\sqrt {\Delta '}}\,;$

donc la quantité ${\sqrt {\Delta '}}$ doit être infiniment petite de l’ordre ${\sqrt {\nu }}\,;$ donc $\Delta '$ doit être $=0.$

De là il est aisé de conclure, par la théorie connue, que ${\frac {\delta }{2}}$ doit être une racine double de l’équation $\mathrm {X} =0,$ ainsi que de l’équation $\mathrm {Y} =0.$

De sorte que les quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ seront de la forme

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&\left(x-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left(l+mx+nx^{2}\right),\\\mathrm {Y} =&\left(y-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left(l+my+ny^{2}\right),\end{aligned}}$

ou, ce qui revient au même, de la forme

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&4\mathrm {C} ^{2}\left(x-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left[l+m\left(x+{\frac {\delta }{2}}\right)+n\left(x+{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\right],\\\mathrm {Y} =&4\mathrm {C} ^{2}\left(y-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left[l+m\left(y+{\frac {\delta }{2}}\right)+n\left(y+{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\right]\,;\end{aligned}}$

et comparant cette forme avec la forme générale des quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ du n^o 10, on trouvera

$n=\mathrm {N} ,\quad m=\mathrm {M} ,\quad l=c+\mathrm {N} {\frac {\delta }{2}}+\mathrm {M} {\frac {\delta ^{2}}{2}},$